Преобразование Мелера — Фока

Преобразование Мелера — Фока функции $f(x)$ имеет вид:

$F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,\quad \tau \geqslant 0,$

где $P_{\nu }(x)$ — сферическая функция Лежандра первого рода. Если $f(x)$ — вещественная функция, причём

$f(x)f(x)P_{-{\frac {1}{2}}}(x)\in L(1,+\infty ),$

тогда интеграл $F(\tau )$, понимаемый в смысле Лебега, представляет вещественную функцию, определённую для любых $\tau \geqslant 0$.

Обратное преобразование имеет вид:

$f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )F(\tau )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }d\tau .$

Данное преобразование было впервые введено Г. Ф. Мелером в 1881 году, основные касающиеся его теоремы были доказаны В. А. Фоком.

Преобразование Мелера — Фока находит применение при решении задач теории потенциала, теории теплопроводности, при решении линейных интегральных уравнений и других задач математической физики.

Другие определения

Иногда определение $F(\tau )$ распространяют и на $\tau <0$, полагая

$F(-\tau )=F(\tau ).$

В основе теории преобразования Мелера — Фока лежит разложение произвольной функции в интеграл типа Фурье:

$f(x)=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{\infty }\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }f(\xi )P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\xi )d\xi d\tau .$

На его основе могут быть получены другие возможные определения преобразования Мелера — Фока.

В литературе встречается определение:

${\tilde {F}}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)f(\tau )d\tau ,\quad x\geqslant 1.$

Тогда, если $f(\tau )\in L[0,\infty )$, $|f'(\tau )|$ — локально интегрируема на $[0,\infty )$ и $f(0)=0$, верна формула обращения:

$f(\tau )=\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x){\tilde {F}}(x)dx.$

Вычисление

Фактическое вычисление преобразования Мелера — Фока осуществляется посредством интегральных представлений функций Лежандра и последующей смены порядка интегрирования.

Примерами, таких интегральных представлений являются:

$P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0,$

(данное представление также называют интегралом Мелера)

$P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(\mathrm {ch} \,\alpha )={\frac {2}{\pi }}\mathrm {ch} \,\pi \tau \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos \tau s}{\sqrt {2(\mathrm {ch} \,\alpha -\mathrm {ch} \,s)}}}ds,\quad \alpha \geqslant 0.$

Равенство Парсеваля

Для преобразования Мелера — Фока может быть получен аналог равенства Парсеваля для преобразования Фурье.

Пусть $g_{k}(x),\;i=1,2$ — две произвольные функции, удовлетворяющие условиям:

$g_{k}(x)x^{-{\frac {1}{2}}}\ln(1+x)\in L(1,\infty ),\quad g_{k}(x)\in L_{2}(1,\infty ),$

а преобразование Мелера — Фока задано равенствами:

$G_{k}(\tau )=\int _{1}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)g_{k}(x)dx,\quad i=1,2,$

$g_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\tau \mathrm {th} \,\pi \tau }}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)G_{k}(\tau )dx,\quad i=1,2,$

тогда выполнено равенство Парсеваля для преобразования Мелера — Фока:

$\int _{0}^{\infty }G_{1}(\tau )G_{2}(\tau )d\tau =\int _{1}^{\infty }g_{1}(x)g_{2}(x)dx.$

Пример использования

Рассмотрим пример решения с помощью преобразования Мелера — Фока интегрального уравнения:

$f(x)=g(x)+\lambda \int _{1}^{\infty }{\frac {f(s)}{x+s}}ds,\quad x\geqslant 1,\quad \pi \lambda <1.$

Пусть преобразования Мелера — Фока

$F(\tau )=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,$

$G(\tau )=\int _{1}^{\infty }g(x)P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)dx,$

существуют.

Тогда уравнение может быть преобразовано к виду:

$F(\tau )=G(\tau )+{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}F(\tau ),$

откуда:

$F(\tau )={\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}}}.$

Если $g(x)$ — непрерывная функция ограниченной вариации во всяком конечном интервале $x\in (1,b),$ причём

$g(x)P_{\frac {1}{2}}(x)\in L(1,+\infty ),$

$G(\tau )\tau \in L(0,+\infty ),$

то посредством формулы обращения получим решение исходного уравнения:

$f(x)=\int _{0}^{\infty }\tau \mathrm {th} \,(\pi \tau ){\frac {G(\tau )}{1-{\frac {\lambda \pi }{\mathrm {ch} \,(\pi \tau )}}}}P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }(x)d\tau .$

Обобщённое преобразование Мелера — Фока

Обобщённое преобразование Мелера — Фока задаётся формулой:

${\tilde {F}}_{k}(x)=\int _{0}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{(k)}f(\tau )d\tau ,$

где $P_{\nu }^{(k)}(x)$ — присоединённые функции Лежандра 1-го рода.

Соответствующая формула обращения:

$f(\tau )={\frac {\tau \,\mathrm {th} \,(\pi \tau )}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k+ix\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}-k-ix\right)\int _{1}^{\infty }P_{-{\frac {1}{2}}+i\tau }^{(k)}(x){\tilde {F}}_{k}(x)dx.$

Частные случаи

1. При $k=0$ получится случай обычного преобразования Мелера — Фока ${\tilde {F}}(x)$.
2. При $k={\frac {1}{2}},x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$ получится косинус-преобразование Фурье.
3. При $k=-{\frac {1}{2}},x=\,\mathrm {ch} \,\alpha$ получится синус-преобразование Фурье.

Литература

• Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961