Преобразование Стилтьеса — это интегральное преобразование , которое для функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
имеет вид:
F
(
τ
)
=
∫
0
∞
f
(
x
)
x
+
τ
d
x
,
{\displaystyle F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx,}
где интегрирование ведётся по вещественной полуоси, а
τ
{\displaystyle \tau }
меняется в комплексной плоскости , с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси.
Данное преобразование является преобразованием свёртки , оно возникает при итерировании преобразования Лапласа . Преобразование Стилтьеса связано также с проблемой моментов для полубесконечного промежутка и, как следствие, с некоторыми цепными дробями .
Если
f
(
x
)
x
1
2
{\displaystyle f(x)x^{\frac {1}{2}}}
непрерывна и ограничена на
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty )}
, то справедлива формула обращения:
f
(
x
)
=
lim
n
→
∞
(
−
1
)
n
2
π
(
e
n
)
2
n
d
n
d
x
n
(
x
2
n
d
n
d
x
n
F
(
x
)
)
,
x
>
0.
{\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}\left({\frac {e}{n}}\right)^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}F(x)\right),\quad x>0.}
Впервые данное преобразование было рассмотрено Т. И. Стилтьесом .
Итерирование преобразования Лапласа
править
Обозначим прямое преобразования Лапласа функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
(переменной
x
{\displaystyle x}
) как функцию новой переменной
s
{\displaystyle s}
как
L
{
f
(
x
)
}
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
s
x
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-sx}f(x)\,dx.}
Тогда повторное (итерированное) преобразование Лапласа
L
{
L
{
f
(
x
)
}
(
s
)
}
(
τ
)
=
∫
0
∞
f
(
x
)
x
+
τ
d
x
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)\right\}(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx}
представляет собой преобразование Стильтьеса (после взятия интеграла по
s
{\displaystyle s}
).
Поэтому многие свойства преобразования Стильтьеса могут быть получены непосредственно из свойств преобразования Лапласа .
Основные свойства и теоремы
править
Обозначим преобразование Стилтьеса функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
как
S
{
f
(
x
)
}
=
F
(
τ
)
.
{\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{f(x)\right\}=F(\tau ).}
Соответствующее обратное преобразование обозначим как:
S
−
1
{
F
(
τ
)
}
=
f
(
x
)
.
{\displaystyle {\mathcal {S}}^{-1}\left\{F(\tau )\right\}=f(x).}
Умножение оригинала на переменную
В сумме изображение оригинала, умноженного на переменную, и произведение переменной на образ равны константе, равной интегралу по положительной вещественной полуоси от оригинала:
S
{
x
f
(
x
)
}
=
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
−
τ
F
(
τ
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{xf(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(x)dx-\tau F(\tau )}
Разностная производная образов
S
−
1
{
F
(
τ
)
−
F
(
α
)
τ
−
α
}
=
−
f
(
x
)
x
+
α
,
|
arg
(
α
)
|
<
π
{\displaystyle {\mathcal {S}}^{-1}\left\{{\frac {F(\tau )-F(\alpha )}{\tau -\alpha }}\right\}=-{\frac {f(x)}{x+\alpha }},\quad |\operatorname {arg} (\alpha )|<\pi }
Разностная производная оригиналов
S
{
f
(
x
)
−
f
(
a
)
x
−
a
}
=
1
2
(
F
(
a
e
i
π
)
+
F
(
a
e
i
π
)
)
−
f
(
a
)
ln
(
τ
a
)
−
F
(
τ
)
τ
+
a
,
a
>
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\right\}={\frac {{\frac {1}{2}}\left(F(ae^{i\pi })+F(ae^{i\pi })\right)-f(a)\ln \left({\frac {\tau }{a}}\right)-F(\tau )}{\tau +a}},\quad a>0}
При масштабировании переменной оригинала в
a
{\displaystyle a}
раз переменная образа также масштабируется в
a
{\displaystyle a}
раз:
S
{
f
(
a
x
)
}
=
F
(
a
τ
)
,
a
>
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{f(ax)\right\}=F(a\tau ),\quad a>0}
Дифференцирование оригинала
Сумма образа производной и производной образа равна константе, поделённой на переменную образа, причём данная константа равна значению оригинала в нуле, взятому с обратным знаком:
S
{
f
′
(
x
)
}
=
−
f
(
0
)
τ
−
F
′
(
τ
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{f'(x)\right\}=-{\frac {f(0)}{\tau }}-F'(\tau )}
Обобщённое преобразование Стилтьеса
править
F
(
τ
)
=
∫
0
∞
f
(
x
)
(
x
+
τ
)
ρ
d
x
.
{\displaystyle F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{(x+\tau )^{\rho }}}dx.}
Интегрированное преобразование Стилтьеса
править
F
(
τ
)
=
∫
+
0
∞
K
(
τ
,
x
)
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle F(\tau )=\int _{+0}^{\infty }K(\tau ,x)f(x)dx,}
где
K
(
τ
,
x
)
=
{
ln
τ
x
τ
−
x
,
τ
≠
x
1
τ
,
τ
=
x
{\displaystyle K(\tau ,x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\ln {\frac {\tau }{x}}}{\tau -x}},&\tau \neq x\\{\frac {1}{\tau }},&\tau =x\\\end{matrix}}\right.}
Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций . — M, Наука, 1970