Преобразование последовательностей

Преобразование последовательностей — оператор, действующий на пространстве последовательностей. Преобразование последовательностей включает в себя такие понятия, как свёртка одной последовательности с другой, их суммирование и биномиальные преобразования, а также преобразования Мёбиуса и Стрилинга. Преобразования последовательности могут использоваться для ускорения сходимости ряда.

Определение

Пусть дана последовательность $S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.$ Её преобразование обозначается $\mathbf {T} (S)=S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },$ где

$s_{n}'=T(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k}),$

причём и $s_{n}$, и $s'_{n}$ являются либо вещественными, либо комплексными числами. Также можно в общем случае считать их элементами векторного пространства.

Преобразованная последовательность $s'_{n}$ сходится быстрее, чем $s_{n}$, если

$\lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0,$

где

$\ell$ — предел сходящейся последовательности $S$.

Если отображение $T(s)$ линейно по каждому своему аргументу, то есть если

$s'_{n}=\sum _{m=0}^{k}c_{m}s_{n+m},$

для некоторых констант $c_{0},\cdots ,c_{k}$, то преобразование $T(s)$ называется линейным преобразованием последовательности. Если это условие не соблюдается, то преобразование называется нелинейным.

Примеры

• Биномиальные преобразования;
• преобразования Мёбиуса;
• преобразования Шанка;
• Дельта-квадрат преобразование Айткена.

Литература

• Hugh J. Hamilton, "Mertens' Theorem and Sequence Transformations", AMS (1947)
• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1986. — 408 с.

Ссылки

• Transformations of Integer Sequences Архивная копия от 20 февраля 2013 на Wayback Machine, a subpage of the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences