Производная Дини

В анализе функций действительных переменных производные Дини — это одно из обобщений понятия производной.

Верхняя производная Дини непрерывной функции

$f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} },$

обозначается через $f'_{+}$ и определяется как

$f'_{+}(t)\triangleq \varlimsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$,

где $\varlimsup$ есть верхний частичный предел.

Нижняя производная Дини, $f'_{-},$ определяется как

$f'_{-}(t)\triangleq \varliminf _{h\to {0+}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$,

где $\varliminf$ есть нижний частичный предел.

Если $f$ определена на векторном пространстве, тогда верхняя производная Дини в точке $t$ по направлению $d$ определяется как

$f'_{+}(t,d)\triangleq \varlimsup _{h\to {0+}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}.$

Если $f$ локально липшицева (то есть у каждой точки существует окрестность, ограничение $f$ на которую — липшицева функция), то $f'_{+}$ конечна. Если $f$ дифференцируема в точке $t$, тогда производная Дини в этой точке совпадает с обычной производной в $t$.

Примечания

• Иногда используют обозначение $D^{+}f(t)$ вместо $f'_{+}(t),$ и $D_{+}f(t)$ используется вместо $f'_{-}(t).$

• Также используют обозначения

$D^{-}f(t)\triangleq \varlimsup _{h\to {0-}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$

и

$D_{-}f(t)\triangleq \varliminf _{h\to {0-}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$

• Таким образом, когда используется $D$-нотация производных Дини, знаки плюс и минус обозначают левосторонний или правосторонний предел, а положение знака указывают на тип производной (верхняя или нижняя).

• На расширенной числовой прямой каждая из производных Дини всегда существует, однако они могут иногда принимать значения $+\infty$ или $-\infty$

Литература

• Royden, H.L. Real analysis (неопр.). — 2nd. — MacMillan, 1968. — ISBN 978-0-02-404150-0.