Пространство Урысона — метрическое пространство, универсальное в определённом смысле. Обычно обозначается .

Определение

править

Пространство Урысонаполное сепарабельное метрическое пространство  , обладающее следующими двумя свойствами:

  • Универсальность: любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству  .
  • Конечная однородность: для любых двух конечных изометричных его подмножеств   любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии  .

Замечание

править
  • Эквивалентно, пространство Урысона можно определить как полное сепарабельное метрическое пространство  , обладающее свойством продолжения; то есть любое изометрическое отображение   из подмножества   конечного метрического пространства   можно продолжить до изометрического отображения  .

Свойства

править
  • Пространство Урысона   существует и единственно с точностью до изометрии.
  • Пространство Урысона   является компактно однородным. То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества   в   можно продолжить до изометрии  .
  • Пространство Урысона   гомеоморфно произведению счётного числа вещественных прямых.[1]
  • При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона.

История

править

Морис Фреше доказал, что пространство   универсально, то есть включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона,   не является ни конечно-однородным, ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства, обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном.[2]

На поставленный Урысоном вопрос о существовании неполного универсального конечно-однородного пространства дал положительный ответ Мирослав Катетов.[3] В той же статье дано слегка упрощённое построение пространства Урысона.

Примечания

править
  1. V. Uspenskij. “The Urysohn universal metric space is homeomorphic to a Hilbert space”. Topology Appl. 139.1-3 (2004), 145–149.
    • «Sur un espace metrique universel» Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), стр. 803 (краткое сообщение)
    • «Sur un espace metrique universel» Bull, de Sciences Mathematiques, 2-я серия, т. 51, стр. 1—38.
      • Перевод: Урысон, П. С. "Об универсальном метрическом пространстве." ПС Урысон. Труды по топологии и другим областям математики. М: 747—777.
  2. M. Katětov. “On universal metric spaces”. General topology and its relations to modern analysis and algebra, VI (Prague, 1986). Vol. 16. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1988, 323–330.

Ссылки

править
  • А. М. Вершик, Случайное метрическое пространство есть пространство Урысона, Докл. РАН, 387:6 (2002), 733—736
  • J. Melleray, Some geometric and dynamical properties of the Urysohn space. Topology Appl. 155 (2008), no. 14, 1531–1560.