Пространство Урысона

Пространство Урысона — метрическое пространство, универсальное в определённом смысле.

ОпределениеПравить

Пространство Урысона — полное сепарабельное метрическое пространство $X$ , обладающее следующими двумя свойствами:

(Универсальность.) Любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству $X$ .
(Конечная однородность.) Для любых двух конечных изометричных его подмножеств $Y_{1},Y_{2}\subset X$ любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии $X$ .

СвойстваПравить

Пространство Урысона существует и единственно с точностью до изометрии.

Пространство Урысона $U$ является компактно однородным. То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества $K\subset U$ в $U$ можно продолжить до изометрии $U$ .

Пространство Урысона гомеоморфно произведению счётного числа вещественных прямых.^[1]

При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона. (Это свойство аналогично основному свойству графу Радо — Эрдеша — Реньи)

ИсторияПравить

Морис Фреше доказал, что пространство $\ell ^{\infty }$ включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона, $\ell ^{\infty }$ не является ни конечно-однородным, ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства, обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном.^[2]

На поставленный Урысоном вопрос о существовании неполного универсального конечно-однородного пространства дал положительный ответ Мирослав Катетов.^[3]

ПримечанияПравить

↑ V. Uspenskij. “The Urysohn universal metric space is homeomorphic to a Hilbert space”. Topology Appl. 139.1-3 (2004), 145–149.
↑
- «Sur un espace metrique universel» Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), стр. 803 (краткое сообщение)
- «Sur un espace metrique universel» Bull, de Sciences Mathematiques, 2-я серия, т. 51, стр. 1—38.
  - Перевод: Урысон, П. С. "Об универсальном метрическом пространстве." ПС Урысон. Труды по топологии и другим областям математики. М: 747—777.
↑ M. Katětov. “On universal metric spaces”. General topology and its relations to modern analysis and algebra, VI (Prague, 1986). Vol. 16. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1988, 323–330.