Пространство Урысона
Пространство Урысона — метрическое пространство, универсальное в определённом смысле.
ОпределениеПравить
Пространство Урысона — полное сепарабельное метрическое пространство , обладающее следующими двумя свойствами:
- (Универсальность.) Любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству .
- (Конечная однородность.) Для любых двух конечных изометричных его подмножеств любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии .
СвойстваПравить
- Пространство Урысона существует и единственно с точностью до изометрии.
- Пространство Урысона является компактно однородным. То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества в можно продолжить до изометрии .
- Пространство Урысона гомеоморфно произведению счётного числа вещественных прямых.[1]
- При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона. (Это свойство аналогично основному свойству графу Радо — Эрдеша — Реньи)
ИсторияПравить
Морис Фреше доказал, что пространство включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона, не является ни конечно-однородным, ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства, обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном.[2]
На поставленный Урысоном вопрос о существовании неполного универсального конечно-однородного пространства дал положительный ответ Мирослав Катетов.[3]
ПримечанияПравить
- ↑ V. Uspenskij. “The Urysohn universal metric space is homeomorphic to a Hilbert space”. Topology Appl. 139.1-3 (2004), 145–149.
- ↑
- «Sur un espace metrique universel» Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), стр. 803 (краткое сообщение)
- «Sur un espace metrique universel» Bull, de Sciences Mathematiques, 2-я серия, т. 51, стр. 1—38.
- Перевод: Урысон, П. С. "Об универсальном метрическом пространстве." ПС Урысон. Труды по топологии и другим областям математики. М: 747—777.
- ↑ M. Katětov. “On universal metric spaces”. General topology and its relations to modern analysis and algebra, VI (Prague, 1986). Vol. 16. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1988, 323–330.
СсылкиПравить
- А. М. Вершик, Случайное метрическое пространство есть пространство Урысона, Докл. РАН, 387:6 (2002), 733—736
- А. М. Вершик, Универсальность и случайность в геометрии и анализе, видеозапись лекции 28 сентября 2006 г. на общеинститутском семинаре «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
- С. А. Богатый, Компактная однородность универсального метрического пространства Урысона, УМН, 55:2(332) (2000), 131—132.
- А. М. Вершик, Случайные метрические пространства и универсальность, УМН, 59:2(356) (2004), 65-104.
Это «статья-заготовка» по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив эту статью, как и любую другую в Википедии. Нажмите и узнайте подробности. |