Псевдогруппа преобразований

Псевдогруппа преобразований гладкого многообразия $M$ — семейство диффеоморфизмов открытых подмножеств многообразия $M$ в $M$, замкнутое относительно композиции отображений, перехода к обратному отображению, а также сужения и склейки отображений.

Точное определение

Псевдогруппа преобразований $\Gamma$ многообразия $M$ состоит из локальных преобразований, то есть пар вида $p=(D_{p},{\bar {p}})$, где $D_{p}$ — открытое подмножество в $M$, а ${\bar {p}}$ — диффеоморфизм $D_{p}\to M$, причём предполагается, что

1. $p,q\in \Gamma \Rightarrow p\circ q=({\bar {q}}^{-1}(D_{p}\cap {\bar {q}}(D_{q})),{\bar {p}}\circ {\bar {q}})\in \Gamma$
2. $p\in \Gamma \Rightarrow p^{-1}=({\bar {p}}(D_{p}),{\bar {p}}^{-1})\in \Gamma$
3. $(M,id)\in \Gamma$,
4. если $p$ — диффеоморфизм открытого подмножества $D$ в $M$ и $D=\cup _{\alpha }D_{\alpha }$, где $D_{\alpha }$ — открытые подмножества в $M$, то $(D,p)\in \Gamma \Longleftrightarrow (D_{\alpha },p)\in \Gamma$ для любого $\alpha$.

Примеры

• Произвольное гладкое действие группы на многообразии.
• Пусть $M$ гладкое многообразие и на котором гладко действует группа $G$ тогда «сужение» действия на произвольное открытое множество $\Omega$ является псевдогруппой преобразований. Точнее $p=(D_{p},{\bar {p}})$ содержится в псевдогруппе если ${\bar {p}}\in G$ и $D_{p},{\bar {p}}(D_{p})\subset \Omega$.

Связанные определения

Так же, как группа преобразований, псевдогруппа преобразований определяет на $M$ отношение эквивалентности; классы эквивалентности называются её орбитами.

Типы псевдогрупп

Псевдогруппа преобразований $\Gamma$ многообразия $M$ называется

• транзитивной, если $M$ — её единственная орбита,
• примитивной, если в $M$ нет нетривиальных гладких $\Gamma$-инвариантных слоений (в противном случае псевдогруппа преобразований называется импримитивной).

Вариации и обобщения

Видоизменяя должным образом это определение, можно определить псевдогруппу преобразований произвольного топологического пространства или даже произвольного множества.

Литература

• Виноградов И.М. (ред.) — Математическая энциклопедия. Том 4. — М.: Сов. энциклопедия, 1977 — с. 730-732.