Псевдоредуктивная группа над полем k (иногда называемая k-редуктивной группой) — это гладкая связная аффинная алгебраическая группа, определённая над k, k-унипотентный радикал которой (т.е. наибольшая гладкая связная унипотентная нормальная k-подгруппа) тривиальна. Над совершенным полем псевдоредуктивные группы — это то же самое, что (связные) редуктивные группы, но над несовершенными полями Жак Титс нашёл несколько примеров псевдоредуктивных групп, не являющихся редуктивными. Псевдоредуктивная k-группа не обязательно редуктивна (поскольку k-унипотентный радикал в общем случае не коммутирует с несепарабельным скалярным расширением на k, таким как скалярное расширение до алгебраического замыкания поля k). Псевдоредуктивные группы возникают естественным образом при изучении алгебраических групп над полями функций на многообразиях с положительной размерностью, имеющих положительную характеристику (даже над совершенным полем констант).

Шпрингер[1] дал объяснение результатов Титса на псевдоредуктивных группах, а Конрад, Габбер и Прасад[2] использовали труд Титса для развития теории общей структуры, включая более продвинутые области, такие как техники построения, системы корней, группы корней и открытые ячейки, теоремы классификации и приложения к теоремам рациональной смежности для гладких связных аффинных групп над произвольными полями. Общая теория (с приложениями) на 2010 год суммирована в статье Реми[3], и позднее во втором издании книги Конрада, Габбера и Прасада[4], а в книге Конрада и Прасада[5] приведены дальнейшие улучшения.

Примеры нередуктивных псевдоредуктивных групп

править

Предположим, что k является несовершенным полем характеристики 2, а a является элементом поля k, не являющимся квадратом. Пусть G — группа ненулевых элементов x + ya в k[a]. Существует морфизм из G в мультипликативную группу Gm, переводящая x + ya в норму x2ay2, ядром же является подгруппа элементов с нормой 1. Лежащая в основе приведённая схема геометрического ядра изоморфна аддитивной группе Ga и является унипотентным радикалом геометрического слоя группы G, но эта приведённая схема подгруппы геометрического слоя не определена над k (то есть она не появляется из замкнутой подсхемы группы G над базисным полем k) и k-унипотентный радикал группы G тривиален. Таким образом, G является псевдоредуктивной k-группой, но не редуктивной k-группой. Похожее построение работает при использовании примитивного нетривиального чисто несепарабельного конечного расширения любого несовершенного поля с любой положительной характеристикой, с единственной разницей, что формула для нормы отображения несколько более сложна по сравнению с предыдущими квадратичными примерами.

Более обще, если K является нетривиальным чистым несепарабельным расширением поля k и G является любой нетривиальной связной редуктивной K-группой, то сужение Вейля[англ.] H=RK/k(G) является гладкой связной аффинной k-группой, для которой имеется (cюръективный) гомоморфизм из HK в G. Ядро этого K-гомоморфизма снижает унипотентный радикал геометрического слоя группы H и не определено над k (то есть не получается из схемы замкнутой подгруппы группы H), так что RK/k(G) является псевдоредуктивной, но не редуктивной. Предыдущий пример является специальным случаем, использующим мультипликативную группу и расширение K=k[a].

Классификация и экзотические проявления

править

Над полем с характеристикой, большей 3, все псевдоредуктивные группы могут быть получены из редуктивных групп путём «стандартного построения», обобщающего построение, описанное выше. Стандартное построение использует вспомогательную коммутативную псевдоредуктивную группу, которая оказывается подгруппой Картана[англ.] результата построения, а главная сложность для общей псевдоредуктивной группы заключается в том, что структура подгрупп Картана (которые всегда коммутативны и псевдоредуктивны) таинственна. Коммутативные псевдоредуктивные группы не попадают ни под какую классификацию (в отличие от связного редуктивного случая, для которого они являются торами, а потому доступны через решётки Галуа), имеют полезное описание ситуации вне характеристик 2 и 3 в терминах редуктивных групп над некоторым конечным (возможно, несепарабельным) расширением базисного поля.

Над несовершенным полем с характеристиками 2 или 3 имеется несколько дополнительных псевдоредуктивных групп (называемых экзотическими) получающихся из исключительных изогений между группами типов B и C в характеристике 2, между группами типа   в характеристике 2 и между группами типа G₂ в характеристике 3, используя конструкцию, аналогичную конструкции групп Ри. Более того, для характеристики 2 есть дополнительные возможности, возникающие не из исключительных изогений, а из факта, что для односвязных групп типа C (т.е. симплектических групп) имеются корни, делящиеся (на 2) в весовой решётке. Отсюда возникают примеры, система корней которых (над сепарабельным замыканием базисного поля) нередуцируема. Такие примеры существуют с расщепимым максимальным тором и неприводимой нередуктивной системой корней любого положительного ранга над любым несовершенным полем характеристики 2. Классификация в характеристике 3 полная, как и для бо́льших характеристик, но для характеристики 2 классификация наиболее полна для случая [k:k^2]=2 (вследствие трудностей, вызванных как примерами с неприводимой системой корней, так и явлениями, связанными с определёнными регулярными вырожденными квадратичными формами, которые существуют только для [k:k^2]>2). Последующая работа Конрада и Прасада[5], основанная на дополнительном материале, включённом во второе издание книги Конрада, Габбера и Прасада[4], завершает классификацию для характеристики 2 с точностью до контролируемого центрального расширения путём приведения исчерпывающего массива дополнительных конструкций, которые существуют только при [k:k^2]>2, в конечном счёте базирующихся на понятии специальных ортогональных групп, пристроенных к регулярным, но вырожденным и не полностью дефектным квадратичным пространствам характеристики 2.

Примечания

править

Литература

править
  • Ofer Gabber, Brian Conrad, Gopal Prasad. Pseudo-reductive groups. — 1. — Cambridge University Press, 2010. — Т. 17. — (New Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-521-19560-7. — doi:10.1017/CBO9780511661143.
  • Ofer Gabber, Brian Conrad, Gopal Prasad. Pseudo-reductive groups. — 2. — Cambridge University Press, 2015. — Т. 26. — (New Mathematical Monographs). — ISBN 978-1-107-08723-1. — doi:10.1017/CBO9781316092439.
  • Brian Conrad, Gopal Prasad. Classification of pseudo-reductive groups.. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 2016. — Т. 191. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 978-0-691-16793-0.
  • Bertrand Rémy. Groupes algébriques pseudo-réductifs et applications (d'après J. Tits et B. Conrad--O. Gabber--G. Prasad). — Astérisque. — 2011. — С. 259–304. — ISBN 978-2-85629-326-3.
  • Tonny A. Springer. Linear algebraic groups. — 2nd. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1998. — Т. 9. — (Progress in Mathematics). — ISBN 978-0-8176-4021-7.