Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование, которое является обратным самому себе. Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное отображение.

Инволюция

Определение

править

Функция   называется инволюцией, если   для всякого  .

Свойства

править
  • Композиция   двух инволюций   и   является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют:  .

Примеры

править
  •  , заданная на множестве целых  , рациональных   или вещественных чисел  ;
  • простейшие инволюции на множестве вещественных чисел  :
     ,  ,  ,  ,  ,  ;
  •   — дополнение множества, заданная для подмножеств некоторого универсального множества  ;
  •   — логическое отрицание булевой алгебры;
  • Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии.
    • Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана.
  • инверсия;
  • комплексное сопряжение;
  • преобразование Лежандра
  • Перестановка   является инволюцией, если  , каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:
     .
    • Число инволюций в группе перестановок порядка   определяется по формулам:
        (рекуррентная формула),
       ,
(первые значения  : 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, 35 696, 140 152[1]).

Примечания

править
  1. последовательность A000085 в OEIS