Процесс Гаусса — Маркова

Случайный процесс Гаусса – Маркова (названные в честь Карла Фридриха Гаусса и Андрея Маркова) — это случайный процесс, который удовлетворяет требованиям как для гауссовского процесса , так и для марковского. Стационарный процесс Гаусса – Маркова также известен как процесс Орнштейна – Уленбека .

Основные свойства

Каждый процесс Гаусса – Маркова X(t) обладает тремя следующими свойствами:

1. Если h(t) ненулевая скалярная функция от t, то Z(t) = h(t) X(t) также является процессом Гаусса–Маркова.
2. Если f(t) неубывающая скалярная функция от t, то Z(t) = X(f (t )) также является процессом Гаусса–Маркова.
3. Если процесс невырожденный и непрерывный в среднеквадратическом, то существуют ненулевая скалярная функция h(t) и строго возрастающая скалярная функция f(t) такие, что X(t) = h(t) W (f(t )), где W (t) — стандартный винеровский процесс .

Свойство (3) означает, что любой невырожденный непрерывный в среднеквадратическом процесс Гаусса–Маркова может быть синтезирован из стандартного винеровского процесса.

Прочие свойства

Стационарный процесс Гаусса–Маркова с дисперсией. ${\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}$ и постоянной времени $\beta ^{-1}$ обладает следующими свойствами.

• Экспоненциальная автокорреляция :

${\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}.\,$

• Функция спектральной плотности мощности, имеет ту же форму, что и распределение Коши:

${\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.\,$

(Обратите внимание, что распределение Коши и этот спектр различаются масштабными коэффициентами. )

• Вышеупомянутое дает следующую спектральную факторизацию:

${\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\beta )}}.$

что важно в винеровском оценивании и других областях.