Обратная теорема

Обратная теорема или обратная импликация — обратное утверждение к данной теореме в котором условие исходной теоремы (прямого утверждения) поставлено заключением, а заключение — условием.

Обратной к обратной теореме является исходная (прямая) теорема. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнения условий любой из них необходимо и достаточно для справедливости заключения.

Каждая теорема может быть выражена в форме импликации $A\Rightarrow B$, в которой посылка $A$ является условием теоремы, а следствие $B$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде $B\Rightarrow A$ является обратной к ней.

Часто используется более общее определение обратной теоремы: если $(A\land C)\Rightarrow B$ является прямой теоремой, то обратной называется не только теорема $B\Rightarrow (A\land C)$, но и теоремы $(A\land B)\Rightarrow C$, $(B\land C)\Rightarrow A$.

Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то обратная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является $A$, а заключением $Y\Rightarrow Z$: $A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$, то для обратной теоремы существует пять форм:

1. $(Y\Rightarrow Z)\Rightarrow A$
2. $(A\Rightarrow Z)\Rightarrow Y$
3. $Z\Rightarrow (A\And Y)$
4. $A\Rightarrow (Z\Rightarrow Y)$
5. $Y\Rightarrow (Z\Rightarrow A)$

Вообще говоря, обратная теорема может не быть истинной, даже если прямая теорема верна. Так, теорема «вертикальные углы равны» (иначе: «если углы вертикальные, то они равны»), как известно, верна. Но обратное к ней утверждение «если углы равны, то они вертикальные», вообще говоря, неверно.

Даже если обратное утверждение истинно, то его доказательство может быть гораздо сложнее доказательства прямого. Например, теорема о четырёх вершинах была доказана в 1912 году, а её обратная только в 1998 году.

Свойства

• Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}})$
• Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}})$

Примеры

• Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$, $b$ и $c$ угол, противолежащий стороне $c$, прямой, то a²+b²=c².

Обратная к этой теореме появляется в «Началах» Евклида (книга I, предложение 48), может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$, $b$ и $c$ выполняется $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, то угол, противолежащий стороне $c$, прямой.

• Теорема Абеля и теорема Абеля — Таубера
• Теоремы о вершинах подерного треугольника
• Прямая и обратная предельная теорема
• В ином смысле: теоремы Шеннона для источника общего вида

Смотрите также

• Противоположная теорема
• Тождество
• Отрицание
• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Эквиваленция
• Исключающее «или»
• Импликация
• Обратная импликация
• Штрих Шеффера
• Стрелка Пирса
• Таблица истинности

Литература

• Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
• Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. — М.: Наука, 1965. — 127 с.