Условия Коши — Римана

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную $u=u(x,y)$ и мнимую $v=v(x,y)$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy$.

Функция f является моногенной, только если df(zX) = z df(X), где z — любое комплексное число.

Формулировка

В декартовых координатах

Для того чтобы функция $w=f(z)$, определённая в некоторой области $D$ комплексной плоскости, была дифференцируема в точке $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ как функция комплексного переменного $z$, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части $u$ и $v$ были дифференцируемы в точке $(x_{0},y_{0})$ как функции вещественных переменных $x$ и $y$ и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};$

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$

Компактная запись:

${\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0,$ или ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.$

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная $f'(z)$ представима в любой из следующих форм:

${\begin{aligned}f'(z)&={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}=\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.\\\end{aligned}}$

Доказательство

1. Необходимость

По условию теоремы существует предел

$f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}},$

не зависящий от способа стремления $\Delta z$ к нулю.

• Вещественное приращение. Положим $\Delta z=\Delta x$ и рассмотрим выражение

$\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x}}.$

Существование комплексного предела $\lim _{\Delta z\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}$ равносильно существованию одного и того же предела в любом направлении, включая $\lim _{\Delta x\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x}}.$ Поэтому в точке z₀ существует частная производная функции f(z) по x и имеет место формула

$\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}.$

• Чисто мнимое приращение. Полагая $\Delta z=i\Delta y$, находим

$\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim \limits _{\Delta y\to 0}{\frac {f(z_{0}+i\Delta y)-f(z_{0})}{i\Delta y}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}.$

Это означает, что если функция дифференцируема, то производные функции по x и по y точно одинаковы, то есть необходимость условий Коши — Римана доказана.

2. Достаточность

Иными словами, нужно доказать в обратную сторону — что если производные функции по x и по y действительно одинаковы, то функция оказывается дифференцируемой вообще в любых направлениях.

Приращение функции

Следуя определению дифференцируемости, приращение функции $f(z)$ в окрестности точки $z_{0}$ может быть записано в виде

$f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}\Delta y+\xi (x,y),$

где комплекснозначная функция $\xi (x,y)$ служит «придаточным» слагаемым и стремится к нулю при $(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})$ быстрее, чем $\Delta x$ и $\Delta y,$ то есть

$\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)}{\Delta z}}=0.$

Составим теперь разностное соотношение ${\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}$ и преобразуем его к виду

${\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}(i\Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z}}.$

Условие дифференцируемости

Теперь, чтобы доказать достаточность условий Коши — Римана, подставим их в разностное соотношение и получим следующее:

${\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}={\frac {{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}(i\Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z}}={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0}}}+{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z}}.$

Заметим, что при стремлении $\Delta z$ к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первое остаётся неизменным. Поэтому предел ${\tfrac {\partial f(z_{0})}{\partial z_{0}}}=\lim _{\underset {\Delta z\in \mathbb {C} }{\Delta z\to 0}}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})$ одинаков в любом направлении приращения $\Delta z,$ а не только вдоль вещественной и мнимой осей, а значит, этот предел существует, что и доказывает достаточность.

В полярных координатах

В полярной системе координат $(r,\varphi )$ условия Коши — Римана выглядят так:

${\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }};\quad {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.$

Компактная запись:

${\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {i}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}=0.$

Вывод полярной записи

Представим исходную функцию в виде

$f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).$

Выражение декартовых координат через полярные

$\left\{{\begin{matrix}x=r\cos \varphi ;\\y=r\sin \varphi .\end{matrix}}\right.$

Распишем производную функции $u(x,y)$

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.$

аналогично, вычисляем производные функции $v(x,y)$

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial v}{\partial r}}={\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}};\\{\frac {\partial v}{\partial \varphi }}={\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.$

Перегруппируем и домножим

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r}}=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }}=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}-\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}};\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y}};\\-r{\frac {\partial v}{\partial r}}=-r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial x}}-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.$

Используя Условия Коши — Римана в декартовых координатах,
получаем равенство соответствующих выражений, что приводит к результату

${\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }};\quad {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.$

Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции

Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:

$f(z)=R(x,y)e^{i\Phi (x,y)}.$

Тогда условия Коши — Римана связывают модуль $R$ и аргумент $\Phi$ функции следующим образом:

${\frac {\partial R}{\partial x}}=R{\frac {\partial \Phi }{\partial y}};\quad {\frac {\partial R}{\partial y}}=-R{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}.$

А если функция и её аргумент выражены в полярной системе одновременно:

$f(z)=R(r,\varphi )e^{i\Phi (r,\varphi )},$

то запись приобретает вид:

${\frac {\partial R}{\partial r}}={\frac {R}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }};\quad R{\frac {\partial \Phi }{\partial r}}=-{\frac {\partial R}{r\partial \varphi }}.$

Геометрический смысл условий Коши — Римана

Пусть функция $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ где $z=x+iy,$ дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости $(x,y)$ два семейства кривых (линии уровня).

Первое семейство: $u(x,y)=const.$

Второе семейство: $v(x,y)=const.$

Тогда условия Коши — Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.

Алгебраический смысл условий Коши — Римана

Если рассматривать множество комплексных чисел $\mathbb {C}$ как векторное пространство над $\mathbb {R}$, то значение производной функции $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства $\mathbb {C}$ в себя ($\mathbb {R}$-линейность). Если же рассматривать $\mathbb {C}$ как одномерное векторное пространство над $\mathbb {C}$, то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства $\mathbb {C}$ в себя ($\mathbb {C}$-линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число $f'(z)$. Очевидно, всякое $\mathbb {C}$-линейное отображение $\mathbb {R}$-линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство) $\mathbb {C}$ изоморфно полю вещественных матриц вида ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$ с обычными матричными операциями, условия Коши — Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения $f$ в точке $z$ (точнее, отображения ${\tilde {f}}\colon (x,y)\mapsto {\big (}u(x,y),v(x,y){\big )}$ в точке $(x,y)$), являются условиями $\mathbb {C}$-линейности $f'(z)$, т.е. ${\tilde {f}}'(x,y)$.

История

Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.

Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.

См. также

• Комплексный анализ

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.—Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.
• Титчмарш Э. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971. — 392 с.