В линейной алгебре сопровожда́ющей ма́трицей унитарного многочлена
p
(
t
)
=
c
0
+
c
1
t
+
⋯
+
c
n
−
1
t
n
−
1
+
t
n
{\displaystyle p(t)=c_{0}+c_{1}t+\dots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}}
называется квадратная матрица
C
(
p
)
=
[
0
0
…
0
−
c
0
1
0
…
0
−
c
1
0
1
…
0
−
c
2
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
0
0
…
1
−
c
n
−
1
]
.
{\displaystyle C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\\\end{bmatrix}}.}
Многочлен
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
одновременно является характеристическим и минимальным многочленом матрицы
C
(
p
)
{\displaystyle C(p)}
, именно в этом смысле матрица
C
(
p
)
{\displaystyle C(p)}
сопровождает многочлен
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
.
Если
A
{\displaystyle A}
— матрица размерности
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
с элементами из поля
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
, тогда следующие утверждения эквивалентны:
A
{\displaystyle A}
подобна своей сопровождающей матрице над полем
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
.
Характеристический многочлен матрицы
A
{\displaystyle A}
совпадает с её минимальным многочленом .
Существует циклический вектор
v
∈
V
=
F
n
{\displaystyle v\in V=F^{n}}
такой, что векторы
v
,
A
v
,
A
2
v
,
…
,
A
n
−
1
v
{\displaystyle v,Av,A^{2}v,\dots ,A^{n-1}v}
образуют базис пространства
V
{\displaystyle V}
. Эквивалентно, V является циклическим
K
[
A
]
{\displaystyle K[A]}
-модулем (и
V
≅
K
[
X
]
/
(
p
(
x
)
)
{\displaystyle V\cong K[X]/(p(x))}
); тогда говорят, что матрица A является несокращаемой .
Не любая квадратная матрица подобна сопровождающей, но любая квадратная матрица подобна блочно-диагональной матрице , каждый из блоков которой является сопровождающей матрицей. Более того, можно подобрать эти сопровождающие матрицы так, что их многочлены будут делить друг друга. Такая матрица однозначно определяется из исходной квадратной матрицы и называется фробениусовой нормальной формой .
Диагонализуемость
править
Если у многочлена
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
n
{\displaystyle n}
корней:
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}
(являющихся собственными значениями матрицы
C
(
p
)
{\displaystyle C(p)}
), то
C
(
p
)
{\displaystyle C(p)}
диагонализуема , то есть представима в виде
V
C
(
p
)
V
−
1
=
diag
(
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
n
)
,
{\displaystyle VC(p)V^{-1}={\mbox{diag}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}),}
где
V
{\displaystyle V}
— матрица Вандермонда , соответствующая корням многочлена
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
.
Линейные рекуррентные последовательности
править
Транспонированная сопровождающая матрица
C
T
(
p
)
=
[
0
1
0
⋯
0
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
⋯
1
−
c
0
−
c
1
−
c
2
⋯
−
c
n
−
1
]
{\displaystyle C^{T}(p)={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\\\end{bmatrix}}}
характеристического многочлена
p
(
t
)
=
c
0
+
c
1
t
+
⋯
+
c
n
−
1
t
n
−
1
+
t
n
{\displaystyle p(t)=c_{0}+c_{1}t+\dots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}}
генерирует линейную рекуррентную последовательность
a
0
,
a
1
,
…
,
a
k
,
…
{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{k},\dots }
в следующем смысле
C
T
(
p
)
[
a
k
a
k
+
1
⋮
a
k
+
(
n
−
1
)
]
=
[
a
k
+
1
a
k
+
2
⋮
a
k
+
n
]
,
{\displaystyle C^{T}(p){\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n}\end{bmatrix}},}
где элементы последовательности удовлетворяют системе линейных уравнений
a
k
+
n
=
−
c
0
a
k
−
c
1
a
k
+
1
−
⋯
−
c
n
−
1
a
k
+
n
−
1
{\displaystyle a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}-\dots -c_{n-1}a_{k+n-1}}
для всех
k
≥
0
{\displaystyle k\geq 0}
.