Состояние Фока

Фоковское состояние — это квантовомеханическое состояние с точно определённым количеством частиц. Названо в честь советского физика В. А. Фока.

Свойства фоковских состояний

В фоковском состоянии $|n\rangle$ находится n частиц, где n — целое число.

В основном состоянии $|0\rangle$ нет ни одного кванта. Часто $|0\rangle$ также называют вакуумным состоянием.

При рассмотрении вторичного квантования состояния Фока формируют самый удобный базис пространства Фока.

Действие операторов рождения и уничтожения на них весьма просто. Они подчиняются следующим соотношениям статистики Бозе — Эйнштейна (случай частиц с целым спином):

$a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle$

$a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle$

$|n\rangle ={1 \over {\sqrt {n!}}}(a^{\dagger })^{n}|0\rangle$

где $a$ и $a^{\dagger }$ — являются операторами уничтожения и рождения соответственно. Похожие соотношения выполняются для статистики Ферми — Дирака (для частиц с полуцелым спином).

Из этих соотношений следует, что

$<a^{\dagger }a>=n$

и

$Var(a^{\dagger }a)=0,$

таким образом, измерение числа частиц $a^{\dagger }a$ в состоянии Фока всегда даёт определённое значение без флуктуаций.

Состояния Фока не являются собственными функциями гамильтониана в общем случае

В формализме вторичного квантования плотность гамильтониана даётся выражением

${\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)$,

и общий гамильтониан записывается так:

${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}$

В свободной теории Шрёдингера (т. е. для не взаимодействующих частиц в нерелятивистском приближении)

${\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)$

и

$\int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}$

и

$\psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)$,

где $a_{n}$ — оператор уничтожения.

$\therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)$

Только для невзаимодействующих частиц ${\mathfrak {H}}$ и $a_{n}$ коммутируют; в общем случае они не коммутируют. Для невзаимодействующих частиц

${\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}$

Если они не коммутируют, гамильтониан не будет иметь вышеуказанного выражения. Следовательно, в общем случае фоковские состояния не являются состояниями системы с определённым значением энергии.

Энергия состояний

Фоковские состояния являются собственными функциями гамильтониана поля $H=\hbar \omega (a^{\dagger }a+1/2)$:

$H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,$

где $E_{n}$ — энергия соответствующего состояния $|n\rangle$.

При подстановке гамильтониана в приведённое выше выражение получим:

$\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle$

Следовательно, энергия состояния $|n\rangle$ равна $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)$, где $\omega$ — частота поля.

Ещё раз отметим, что энергия нулевого (основного) состояния с $n=0$ отлична от нуля, и её называют нулевой энергией.

Вакуумные флуктуации

См. также Частота Раби

Вакуумное состояние, или $|0\rangle$, есть состояние с наименьшей энергией. Для него

$a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }.$

Электрическое и магнитное поля и векторный потенциал имеют одинаковый вид:

$F({\vec {r}},t)=\varepsilon ae^{i(({\vec {k}}\cdot {\vec {r}})-\omega t)}+$ $h.c.$

Легко заметить, что величина оператора поля этого состояния исчезает в вакуумном состоянии:

$\langle 0|F|0\rangle =0.$

Однако можно показать, что квадрат оператора поля не равен нулю.

Вакуумные флуктуации ответственны за многие интересные явления в квантовой оптике, например, такие, как сдвиг Лэмба и сила Казимира.

См. также

• Квантовый гармонический осциллятор

Ссылки

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
• Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, [пер. с англ. ], M., 1963.
• Хоружий С. С., Введение в алгебраическую квантовую теорию поля, М., 1986.
• Franz Gross. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. — Wiley-VCH, 1999. — ISBN 0471353868.