Суперинтегрируемая гамильтонова система

В математике суперинтегрируемая гамильтонова система — это гамильтонова система на $2n$ -мерном симплектическом многообразии $Z$ , для которой выполняются следующие условия:

(i) Существуют $k>n$ независимых интегралов движения $F_{i}$ . Их поверхности уровня (инвариантные подмногообразия) образуют расслоенное многообразие $F:Z\to N=F(Z)$ над связным открытым подмножеством $N\subset \mathbb {R} ^{k}$ .

(ii) Существуют гладкие вещественные функции $s_{ij}$ на $N$ , такие что скобки Пуассона интегралов движения имеют вид $\{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F$ .

(iii) Матрица $s_{ij}$ имеет постоянный коранг $m=2n-k$ на $N$ .

Если $k=n$ , то это — случай вполне интегрируемой гамильтоновой системы. Теорема Мищенко — Фоменко для суперинтегрируемых гамильтоновых систем следующим образом обобщает теоремы Лиувилля — Арнольда о переменных действие — угол.

Пусть инвариантные подмногообразия суперинтегрируемой гамильтоновой системы связны компактны и взаимно диффеоморфны. Тогда расслоенное многообразие $F$ является расслоением на торы $T^{m}$ . Для данного её слоя $M$ существует его открытая окрестность $U$ , которая является тривиальным расслоением, наделены послойными обобщёнными координатами действие — угол $(I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})$ , $A=1,\ldots ,m$ , $i=1,\ldots ,n-m$ , такими что $(\phi ^{A})$ — координаты на $T^{m}$ . Эти координаты являются каноническими координатами на симплектическом многообразии $U$ . При этом гамильтониан суперинтегрируемой системы зависит только от переменных действие $I_{A}$ , которые являются функциями Казимира коиндуцированной пуассоновой структуры на $F(U)$ .

Теорема Лиувилля — Арнольда для вполне интегрируемых систем и теорема Мищенко — Фоменко для суперинтегрируемых систем были обобщены на случай некомпактных инвариантных подмногообразий. Они диффеоморфны тороидальным цилиндрам $T^{m-r}\times \mathbb {R} ^{r}$ .

Литература

Mishchenko, A., Fomenko, A., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113.
Bolsinov, A., Jovanovic, B., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; arXiv:math-ph/0109031.
Fasso, F., Superintegrable Hamiltonian systems: geometry and applications, Acta Appl. Math. 87(2005) 93.
Fiorani, E., Sardanashvily, G., Global action-angle coordinates for completely integrable systems with non-compact invariant manifolds, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arXiv:math/0610790.
Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Methods in Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, Singapore, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8; arXiv: 1303.5363 (недоступная ссылка).

См. также