Суперинтегрируемая гамильтонова система

В математике суперинтегрируемая гамильтонова система — это гамильтонова система на $2n$-мерном симплектическом многообразии $Z$, для которой выполняются следующие условия:

(i) Существуют $k>n$ независимых интегралов движения $F_{i}$. Их поверхности уровня (инвариантные подмногообразия) образуют расслоенное многообразие $F:Z\to N=F(Z)$ над связным открытым подмножеством $N\subset \mathbb {R} ^{k}$.

(ii) Существуют гладкие вещественные функции $s_{ij}$ на $N$, такие что скобки Пуассона интегралов движения имеют вид $\{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F$.

(iii) Матрица $s_{ij}$ имеет постоянный коранг $m=2n-k$ на $N$.

Если $k=n$, то это — случай вполне интегрируемой гамильтоновой системы. Теорема Мищенко — Фоменко для суперинтегрируемых гамильтоновых систем следующим образом обобщает теоремы Лиувилля — Арнольда о переменных действие — угол.

Пусть инвариантные подмногообразия суперинтегрируемой гамильтоновой системы связны компактны и взаимно диффеоморфны. Тогда расслоенное многообразие $F$ является расслоением на торы $T^{m}$. Для данного её слоя $M$ существует его открытая окрестность $U$, которая является тривиальным расслоением, наделены послойными обобщёнными координатами действие — угол $(I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})$, $A=1,\ldots ,m$, $i=1,\ldots ,n-m$, такими что $(\phi ^{A})$ — координаты на $T^{m}$. Эти координаты являются каноническими координатами на симплектическом многообразии $U$. При этом гамильтониан суперинтегрируемой системы зависит только от переменных действие $I_{A}$, которые являются функциями Казимира коиндуцированной пуассоновой структуры на $F(U)$.

Теорема Лиувилля — Арнольда для вполне интегрируемых систем и теорема Мищенко — Фоменко для суперинтегрируемых систем были обобщены на случай некомпактных инвариантных подмногообразий. Они диффеоморфны тороидальным цилиндрам $T^{m-r}\times \mathbb {R} ^{r}$.

Литература

• Mishchenko, A., Fomenko, A., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113.
• Bolsinov, A., Jovanovic, B., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; arXiv:math-ph/0109031.
• Fasso, F., Superintegrable Hamiltonian systems: geometry and applications, Acta Appl. Math. 87(2005) 93.
• Fiorani, E., Sardanashvily, G., Global action-angle coordinates for completely integrable systems with non-compact invariant manifolds, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arXiv:math/0610790.
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Methods in Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, Singapore, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8; arXiv: 1303.5363 (недоступная ссылка).

См. также

• Гамильтонова система
• Переменные действие — угол
• Интегралы движения