Скобка Пуассона

Ско́бки Пуассо́на[1] (также возможно ско́бка Пуассо́на[2] и скобки Ли) — оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона. Рассматривался С. Пуассоном в 1809 году[3], затем забыт и переоткрыт Карлом Якоби.

Скобки Пуассона векторных полей

править

Пусть   и   — векторные поля на гладком многообразии  ,   — оператор производной Ли по направлению векторного поля  . Коммутатор операторов   и   есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле  , для которого[4][Notes 1]

 

Компоненты векторного поля   в произвольной системе координат выражаются через компоненты   и   по формуле

 

Таким образом, поле   не зависит от системы координат   которая используется в формуле.

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

 

В голономном базисе оно принимает вид

 


Пример

править

Пусть   есть группа диффеоморфизмов многообразия  . Тогда   где   — скобка Пуассона,   — дифференциал   в единице группы. Символ   обозначает образ элемента  .

Пусть   является кривой, которая выходит из   с начальной скоростью   и пусть   является такой же кривой с начальной скоростью   Тогда

 

при  

 
Вектор   в алгебре Ли   является скоростью в единице   пути   на группе Ли  

Свойства

править

Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.

  • Линейность:   — функция, не зависящая от   и  .
  • Антикоммутативность:  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  • Тождество Якоби:  
  • Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Скобки Пуассона функций

править

Пусть   — симплектическое многообразие. Симплектическая структура   на   позволяет ввести на множестве функций на   операцию скобок Пуассона, обозначаемую   или   и задаваемую по правилу[1][Notes 2]

 

где   (также  ) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона  . Оно определяется через дифференциал функции   и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой  . Именно, для любого векторного поля  

 

Алгебра Ли функций Гамильтона

править

В силу кососимметричности и билинейности   скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

 
 

Выражение

 

является линейной функцией вторых производных каждой из функций  . Однако

 

Это выражение не содержит вторых производных  . Аналогично, оно не содержит вторых производных   и  , а потому

 

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на   структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции  

 ,

то есть

 

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства

править
  • Скобки Пуассона невырождены:
 
 
  • Функция   является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом   тогда и только тогда, когда  
  • Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
  • Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона  , заданной на многообразии  . Полная производная по времени от произвольной функции   запишется в виде
 
 [5]


Философское значение

править

Скобки Пуассона сыграли важную эвристическую роль при создании квантовой механики методом классической аналогии между классическими и квантовыми скобками Пуассона.[6][7][8][9]

Примечания

править

  1. Некоторые авторы [Арнольд] используют определение с противоположным знаком, при этом также изменяется знак в определении скобок Пуассона функций (см. ниже). Этот подход продиктован, по-видимому, стремлением сохранить как естественные геометрические определения гамильтоновых полей и их свойств, так и традиционную форму записи скобок Пуассона в координатах. Однако при этом разрушается естественная симметрия между коммутаторами производных Ли, векторов и функций. Дальнейшие проблемы возникают при переходе к общим понятиям дифференциальной геометрии (формы, векторнозначные формы, различные дифференцирования), где отсутствие указанной симметрии неоправданно усложняет формулы. Поэтому в данной статье будут использованы другие определения, с оговорками.
  2. В некоторых книгах [Арнольд] принято определение с противоположным знаком, а именно   При этом также определяется с противоположным знаком коммутатор векторных полей (см. выше), а выражение для скобки Пуассона в координатах принимает традиционный вид, однако появляется лишний минус в выражении   и формуле для коммутатора полей.
  3. В [Арнольд], [Гантмахер] выражение имеет противоположный знак (аналогично вышеуказанным замечаниям). Традиционно выражение записывают как в [Гантмахер].

Литература

править
  1. 1 2 Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X.
  2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  3. Poisson S. D. Memoire sur lavariation des constantes arbitraire dans les questions de Mechanique. - Journ. Politechn. 1809 t. VIII, p. 266-344
  4. Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry Архивная копия от 6 июля 2020 на Wayback Machine, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
  5. Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 1. / доктор физико-математических наук Л. П. Питаевский. — 5-е. — ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 176-179. — ISBN 5-9221-0055-6.
  6. Дирак П А М "Основные уравнения квантовой механики" Архивная копия от 2 мая 2021 на Wayback Machine УФН 122 611–621 (1977)
  7. Дирак П. А. М. Воспоминания о необычайной эпохе. — М., Наука, 1990. — с. 20-21
  8. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М., Физматлит, 1960. — с. 125-130
  9. Разумовский О. С. Скобки Пуассона как метод // Яненко Н. Н., Преображенский Н. Г., Разумовский О. С. Методологические проблемы математической физики. — Новосибирск, Наука, 1986. — с. 246-263