Касательное пространство

Касательное пространство к гладкому многообразию $M$ в точке $x$ — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к $M$ в точке $x$ обычно обозначается $T_{x}M$ или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто $T_{x}$.

Касательное пространство $T_{x}M$ и касательный вектор $v\in T_{x}M$, вдоль кривой $\gamma (t)$, проходящей через точку $x\in M$

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке $p$ к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

Определения

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентности гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.

Как класс эквивалентности гладких кривых

Пусть $M$ — гладкое многообразие и $p\in M$. Рассмотрим класс $\Gamma _{p}$ гладких кривых $\gamma \colon \mathbb {I} \to M$ таких, что $\gamma (0)=p$. Введём на $\Gamma _{p}$ отношение эквивалентности: $\gamma _{1}\sim \gamma _{2}$ если

$|\gamma _{1}(t)-\gamma _{2}(t)|=o(t),t\to 0$

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей $p$.

Элементы касательного пространства $T_{p}$ определяются как $\sim$-классы эквивалентности $\Gamma _{p}$; то есть

$T_{p}=\Gamma _{p}/\sim$.

В карте такой, что $p$ соответствует началу координат, кривые из $\Gamma _{p}$ можно складывать и умножать на число следующим образом

$(\gamma _{1}+\gamma _{2})(t)=\gamma _{1}(t)+\gamma _{2}(t)$

$(k\cdot \gamma )(t)=\gamma (k\cdot t)$

При этом результат остаётся в $\Gamma _{p}$.

Эти операции продолжаются до классов эквивалентности $T_{p}=\Gamma _{p}/\sim$. Более того, индуцированные на $T_{p}$ операции уже не зависят от выбора карты. Так на $T_{p}$ определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точке

Пусть $M$ — $C^{\infty }$-гладкое многообразие. Тогда касательным пространством к многообразию $M$ в точке $p\in M$ называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов $X,$ сопоставляющих каждой гладкой функции $f:M\to \mathbb {R}$ число $Xf,$ и удовлетворяющих следующим двум условиям:

• $\mathbb {R}$-линейность: $X(\lambda f+\mu h)=\lambda Xf+\mu Xh,\;\lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,f,h\in C^{\infty }(M)$
• правило Лейбница: $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh),\;f,h\in C^{\infty }(M).$

На множестве всех дифференцирований в точке $p$ возникает естественная структура линейного пространства:

• $(X+Y)f=Xf+Yf;$

  $(k\cdot X)f=k\cdot (Xf).$

Замечания

• В случае $C^{k}$-гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство

  $Xf=0$ если $f(q)=o(|p-q|)$

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей $p$.

• В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.

• Пусть $\gamma \in \Gamma _{p}$. Тогда правило Лейбница и условие линейности оператора выполняются для $Xf=(f\circ \gamma )'(0)$. Это позволяет идентифицировать касательные пространства, получаемые в первом и во втором определениях.

Свойства

• Касательное пространство $n$-мерного гладкого многообразия является $n$-мерным векторным пространством
• Для выбранной локальной карты $x_{1},\dots ,x_{n}$, операторы $X_{i}$ дифференцирования по $x_{i}$:

  $X_{i}f={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)$

представляют собой базис $T_{p}$, называемый голономным базисом.

Связанные определения

• Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

Вариации и обобщения

Алгебраическое касательное пространство

Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для $C^{k}$-дифференцируемых многообразий, $k<\infty$). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).

Пусть $M$ — $C^{k}$-дифференцируемое многообразие, $C^{k}(M)$ — кольцо дифференцируемых функций из $M$ в $\mathbb {R}$. Рассмотрим кольцо $C_{x}^{k}$ ростков функций в точке $x\in M$ и каноническую проекцию $[-]_{x}:C^{k}(M)\to C_{x}^{k}$. Обозначим через ${\mathfrak {m}}_{x}$ ядро гомоморфизма колец $[f]_{x}\mapsto f(x)$. Введем на $C_{x}^{k}$ структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма $i:\mathbb {R} \to C_{x}^{k}$, $i(a)=[\mathrm {const} _{a}]_{x}$ и будем далее отождествлять $\mathbb {R}$ и $i(\mathbb {R} )$. Имеет место равенство $C_{x}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{x}$. Обозначим через $C_{x,0}^{k}$ подалгебру $C_{x}^{k}$, состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке $x$ в каждой карте; обозначим $C_{x,d}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{x}^{2}$. Заметим, что $C_{x,d}^{k}\subset C_{x,0}^{k}$.

Рассмотрим два векторных пространства:

• $T_{x}M:=(C_{x}^{k}/C_{x,0}^{k})^{*}$ — это пространство имеет размерность $\operatorname {dim} M$ и совпадает с определённым ранее касательным пространством к $M$ в точке $x$,
• $(C_{x}^{k}/C_{x,d}^{k})^{*}\cong ({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}$ — это пространство изоморфно пространству дифференцирований $C_{x}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{x}$ со значениями в $\mathbb {R} \subset C_{x}^{k}$, его называют алгебраическим касательным пространством $M$ в точке $x$.

Если $k<\infty$, то ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ имеет размерность континуум, а $({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}$ содержит $T_{x}M$ как нетривиальное подпространство; в случае $k=\infty$ или $k=\omega$ эти пространства совпадают (и $C_{x,0}^{k}=C_{x,d}^{k}$). В обоих случаях $T_{x}M$ можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований $C_{x}^{k}$ со значениями в $\mathbb {R}$, для вектора $X\in T_{x}M$ формула $X(f)=X([f]_{x})$ задаёт инъективный гомоморфизм $T_{x}M$ в пространство дифференцирований $C^{k}(M)$ со значениями в $\mathbb {R}$ (структура вещественной алгебры на $C^{k}(M)$ задается аналогично $C_{x}^{k}$). При этом в случае $k=\infty$ получается в точности определение, данное выше.

См. также

• Касательный вектор
• Кокасательное пространство
• Касательное расслоение