Окружность на сфере

Окру́жность на сфе́ре (круг на ша́ре^[1]) — сечение сферы плоскостью^[2]^[1]^[3]^[4]^[5].

Различают следующие два вида окружностей на сфере, два вида сечений сферы плоскостью^[6].

Большая окружность (большой круг) — окружность на сфере, плоскость сечения которой есть диаметральная плоскость, то есть проходит через центр сферы^[6].

Малая окружность (малый круг^[1]) — окружность на сфере, плоскость сечения которой отлична от диаметральной плоскости, то есть не проходит через центр сферы^[6], другими словами, это окружность на сфере, отличная от большой окружности^[1].

Определения

Окружность на сфере (круг на шаре^[1]) — сечение сферы плоскостью^[2]^[1]^[3]^[4]^[5].

Покажем, что действительно при сечении сферы плоскостью получается окружность. Опустим из центра сферы перпендикуляр на секущую плоскость, затем повернём трёхмерное пространство на произвольный угол вокруг этого перпендикуляра. При таком повороте сфера и плоскость перейдут сами в себя, а с ними и кривая их пересечения. Следовательно, точка пересечения перпендикуляра с плоскостью находится от любой точки кривой пересечения на фиксированном расстоянии, то есть эта кривая — окружность с центром в точке пересечения перпендикуляра с плоскостью^[7].

Различают следующие два вида окружностей на сфере, два вида сечений сферы плоскостью^[6].

Диаметральная плоскость сферы — плоскость, проходящая через центр сферы.

Большая окружность (большой круг) — окружность на сфере, плоскость сечения которой есть диаметральная плоскость^[6].

Малая окружность (малый круг^[1]) — окружность на сфере, плоскость сечения которой отлична от диаметральной плоскости, то есть не проходит через центр сферы^[6], другими словами, это окружность на сфере, отличная от большой окружности^[1].

Пересечение сферы и плоскости

Найдём формулу для радиуса окружности на сфере. Поскольку этот радиус $\rho$ есть катет прямоугольного треугольника (см. рисунок справа с окружностью на сфере и с прямоугольным треугольником) с гипотенузой, равной радиусу сферы $r$ , и вторым катетом, равным длине перпендикуляра $h$ , опущенного из центра сферы на плоскость сечения, то по теореме Пифагора получаем^[6]:

\rho ={\sqrt {r^{2}-h^{2}}}

.

Эта формула показывает, что^[6]:

большая окружность имеет максимальный радиус $\rho =r$ , поскольку $h=0$ ;
малая окружность имеет меньший радиус $\rho <r$ , поскольку $h>0$ .

Свойства окружностей на сфере

Две точки на сфере и большие окружности

Диаметрально противоположные точки на сфере — две точки на сфере, соединённые её диаметром.

Большая окружность, проходящая через две точки на сфере

Предложение 1. Через две любые точки на сфере, которые не диаметрально противоположны, проходит единственная большая окружность (см. рисунок справа с такой большой окружностью)^[6].

Доказательство. Поскольку через три любые точки трёхмерного пространства, которые не лежат на одной прямой, проходит единственная плоскость, то через две любые точки на сфере, которые не диаметрально противоположны, и через центр сферы проходит единственная диаметральная плоскость^[6].

Две пары диаметрально противоположных точек

Плоская аналогия. На плоскости через две любые точки проходит единственная прямая^[6].

Две пары диаметрально противоположных точек

Предложение 2. Через две любые диаметрально противоположные точки на сфере проходит бесконечное множество больших окружностей (см. рисунок слева с двумя парами диаметрально противоположных точек)^[6].

Предложение 3. Две любые большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках (см. рисунок справа с двумя большими окружностями)^[6].

Доказательство. Две любые диаметральные плоскости сферы всегда пересекаются по диаметру сферы^[6].

Отсутствие плоской аналогии. На плоскости две любые прямые пересекаются не более чем в одной точке^[6].

Разбиение сферы большими окружностями

Две полусферы

Предложение 1. Большая окружность разбивает сферу на две части — на две полусферы(см. рисунок справа с двумя полусферами)^[6].

Доказательство. Плоскость делит трёхмерное пространство на два подпространства^[6].

Четыре двуугольника

Плоская аналогия. На плоскости прямая разбивает плоскость на две полуплоскости^[8].

Восемь сферических треугольников

Предложение 2. Две большие окружности разбивает сферу на четыре части — на четыре двуугольника (см. рисунок слева с четырьмя частями сферы)^[6].

Три прямые и семь областей

Доказательство. Две пересекающиеся плоскости делят трёхмерное пространство на четыре части^[6].

Плоская аналогия. На плоскости две пересекающиеся прямые разбивают плоскость на четыре части^[8].

Предложение 3. Три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, разбивает сферу на аосемь частей — на восемь сферических треугольников (см. рисунок справа с восемью частями сферы)^[6].

Доказательство. Три пересекающиеся в одной точке плоскости делят трёхмерное пространство на восемь частей^[6].

Отсутствие плоской аналогии. На плоскости три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие сразу все три через одну точку, разбивают плоскость на семь частей (см. рисунок слева с тремя прямыми)^[8].

Большая окружность как поляра

Связанные определения

Малая окружность делит сферу на две области, называемые сферическими сегментами. Меньший сегмент называется сферическим кругом^[9].

Сферический центр и сферический радиус

Окружность на сфере можно также определить как геометрическое место точек сферы, равноудалённых от данной точки сферы. Этим же свойством обладает и диаметрально противоположная точка. Для малых окружностей та из этих двух точек, для которой сферическое расстояние от неё до точек данной окружности меньше, называется сферическим центром этой окружности. А само расстояние сферическим радиусом. Для больших окружностей эти две точки называются полюсами больших окружностей. Их так же можно считать центрами большой окружности^[10]. Сферический радиус большого круга равен квадранту, и обратно, круг на сфере со сферическим радиусом, равным квадранту, есть большой круг^[11].

Например, геометрическая дальность видимого горизонта без учета земной рефракции, представляет собой сферический радиус, измеряется она обычно в километрах, хотя расстояния на сфере в сферической тригонометрии обычно измеряются в градусах (или радианах).

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, § 1. Круги на шаре, с. 7.
↑ ¹ ² Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 519.
↑ ¹ ² Битюцков В. И. Сферическая геометрия, 1985, стб. 290.
↑ ¹ ² Сферическая геометрия, 1976, с. 116.
↑ ¹ ² Битюцков В. И. Сферическая геометрия, 1988.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ ¹⁵ ¹⁶ ¹⁷ ¹⁸ ¹⁹ ²⁰ ²¹ Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 520.
↑ Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 519—520.
↑ ¹ ² ³ Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 521.
↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 519-520.
↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 539-545.
↑ Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть вторая. Стереометрия. М: — 1958—760 с.

Источники

Битюцков В. И. Сферическая геометрия // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 290—291.
Битюцков В. И. Сферическая геометрия // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 571.
Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 518—557.
Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. 2-е изд. М.—Л.: ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 154 с., ил.
Сферическая геометрия // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1976. Т. 25. Струнино — Тихорецк. 1976. 600 с. с илл., 27 л. илл., 3 л. карт. С. 116—117.

Ссылки

Учебник по навигации Архивная копия от 16 ноября 2007 на Wayback Machine

[_6faee2702c799955-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия, 1948, § 1. Круги на шаре, с. 7.

[_69a1977565f728c6-2] ¹ ² Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 519.

[_4098b0961e0b821b-3] ¹ ² Битюцков В. И. Сферическая геометрия, 1985, стб. 290.

[_9f162a7872eb9e48-4] ¹ ² Сферическая геометрия, 1976, с. 116.

[_88f7ea31adfb947b-5] ¹ ² Битюцков В. И. Сферическая геометрия, 1988.

[_ebfcc65d2bc4f156-6] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ ¹⁵ ¹⁶ ¹⁷ ¹⁸ ¹⁹ ²⁰ ²¹ Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 520.

[_f203b6821a403651-7] Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 519—520.

[_f64ba95d3212f8dd-8] ¹ ² ³ Розенфельд Б. А. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии, 1963, 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности, с. 521.

[_34c45c3486aa0b8e-9] Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 519-520.

[_e0a9f9ed2fb2419f-10] Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 539-545.

[11] Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть вторая. Стереометрия. М: — 1958—760 с.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]