Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом[1]. Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то высота обоих сегментов равна радиусу сферы, и каждый из таких сферических сегментов называют полусферой.

Пример сферического сегмента (окрашен синим цветом). Вторая половина сферы также представляет собой сферический сегмент

Шарово́й сегме́нт — геометрическое тело, часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью. Поверхностью шарового сегмента является объединение сферического сегмента и круга (основания шарового сегмента), границы которых совпадают.

Объём и площадь поверхности

править

Если радиус основания сегмента равен  , высота сегмента равна  , тогда объём шарового сегмента равен [2]

 

площадь поверхности сегмента равна

 

или

 

Параметры  ,   и   связаны соотношениями

 
 

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

 

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке)   в нижней части сферы   следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение   и можно привести другое выражение для объёма:

 

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

 

Применение

править

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сфер

править

Объём объединения двух сфер радиусов r1 и r2 равен [3]

 ,

где

 

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

 

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r1 + r2 — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h1 и h2 приводит к выражению [4][5]

 

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт

править

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ1 и φ2 данная площадь равна [6]

 

Площадь квадратного участка поверхности шара

править

Участок, вырезанный на сфере радиуса r четырьмя дугами больших кругов, имеющими одинаковую угловую длину θ и попарно перпендикулярными (сферический квадрат, аналог квадрата на плоскости), имеет площадь

 

Если угол θ мал (по сравнению с 1 радианом), то справедливо приближённое равенство, основывающееся на приближении   при  

 

Например, площадь квадратного участка поверхности Земли (R = 6378 км) со сторонами, равными 1 градусу, составляет

 

1 квадратная секунда поверхности Земли имеет площадь в 36002 раз меньше: A(1′′) ≈ 12 391 км2 / (60 · 60)2 ≈ 956 м2.

Обобщения

править

Сечения других тел

править

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Сегмент гиперсферы

править

Объём  -мерного сегмента гиперсферы высотой   и радиуса   в  -мерном евклидовом пространстве определяется по формуле [7]

 

где   (гамма-функция) задаётся выражением  

Выражение для объёма   можно переписать в терминах объёма единичного  -мерного шара   и гипергеометрической функции   или регуляризованной неполной бета-функции   как

 

Формула для площади поверхности   может быть записана в терминах площади поверхности единичного  -мерного шара   как

 

где  

Также справедливы следующие формулы[8]:   где  

 

При  

 

Было показано[9], что при   и     где  стандартное нормальное распределение.

Литература

править
  • А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин, П. С. Александров. Основные понятия сферической геометрии // Энциклопедия элементарной математики. Книга 4 - Геометрия. — Москва: ГИФМЛ, 1963.

Примечания

править
  1. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 519-520.
  2. Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists (англ.). — Chapman & Hall/CRC, 2007. — P. 69. — ISBN 9781584885023. Архивировано 2 февраля 2017 года.
  3. Connolly M. L. Computation of molecular volume (англ.) // J. Am. Chem. Soc[англ.]. — 1985. — Vol. 107. — P. 1118—1124. — doi:10.1021/ja00291a006.
  4. Pavani R., Ranghino G. A method to compute the volume of a molecule (англ.) // Comput. Chem. — 1982. — Vol. 6. — P. 133—135. — doi:10.1016/0097-8485(82)80006-5.
  5. Bondi A. Van der Waals volumes and radii (англ.) // J. Phys. Chem.[англ.]. — 1964. — Vol. 68. — P. 441—451. — doi:10.1021/j100785a001.
  6. Donaldson S. E., Siegel S. G. Successful Software Development. — 2nd ed.. — Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc., 2001. — С. 354. — ISBN 0-13-086826-4.
  7. Li S. Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap (англ.) // Asian J. Math. Stat. — 2011. — Vol. 4, no. 1. — P. 66—70. — doi:10.3923/ajms.2011.66.70.
  8. Чуднов А. М. О минимаксных алгоритмах формирования и приема сигналов // Пробл. передачи информ. — 1986. — Т. 22. — С. 49—54.  
  9. Чуднов А. М. Теоретико-игровые задачи синтеза алгоритмов формирования и приема сигналов // Пробл. передачи информ. — 1991. — Т. 27. — С. 57—65.