Теорема Вейерштрасса о целых функциях

Теорема

Любая целая функция $f$, имеющая не более чем счётное количество нулей $\{0\}\cup \{a_{n}\}\to \infty$, где точка 0 — нуль порядка $\lambda$, может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

$f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)$,

где $h$ — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа $p_{n}$ подобраны таким образом, чтобы ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}+1}}\left|{\frac {z}{a_{n}}}\right|^{p_{n}+1}$

сходился при всех $z$. При $p_{n}=0$ соответственная множителю номер n экспонента опускается (считается равной $\exp(0)=1$).

На случай кратных корней эта теорема обобщается следующим образом. Самым общим выражением для целой функции $f$, которая в заданных точках точках $z=a_{k}$ ($a_{k}\to \infty$) имеет нули кратности $n_{k}$, является произведение

$f(z)=z^{n_{0}}e^{h(z)}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1-{\frac {z}{a_{k}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{k}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{k}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{k}}}\left({\frac {z}{a_{k}}}\right)^{p_{k}}\right)\right\}^{n_{k}}$,

где $h$ — произвольная целая функция, а неотрицательные целые числа $p_{n}$ подобраны таким образом, чтобы ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {n_{k}}{p_{k}+1}}\left|{\frac {z}{a_{k}}}\right|^{p_{k}+1}$

сходился при всех $z$.

Примеры

Разложение синуса и косинуса в бесконечное произведение.

$\sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$

$\cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\right)$

Замечание

Данная теорема, как и теорема Миттаг-Леффлера, представляет собой обобщение известного свойства — разложения многочленов на сомножители — на случай целых функций.

Литература

• Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М., 1968. Стр. 125 и сл.
• Rüchs F. Funktionentheorie. Berlin, 1962. Стр. 200.
• Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 316