Теорема Гливенко — Кантелли

Теорема Гливе́нко — Канте́лли в математической статистике уточняет результат о сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ - бесконечная выборка из распределения, задаваемого функцией распределения $F$. Пусть ${\hat {F}}$ - выборочная функция распределения, построенная на первых $n$ элементах выборки. Тогда

$\lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|=0\;$ почти наверное,

где символ $\sup$ обозначает точную верхнюю грань.

В случае непрерывной функции распределения $F$ теорема была доказана советским математиком Гливенко. На случай произвольной функции распределения теорема обобщена итальянским математиком Кантелли. Оба результата опубликованы в одном и том же журнале в 1933 году.

Доказательство

Обозначим $D_{n}(\omega )=\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|$. Так как обе функции распределения непрерывны спрва, то значение в любой точке можно приблизить точками из рациональной окрестости $D_{n}(\omega )=\sup _{x\in \mathbb {Q} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|$

Так как объединение счетного числа измеримых функций измеримо, то $D_{n}$ — случайная величина

Зафиксируем $N\in \mathbb {N}$ и положим $x_{N,k}=\inf \left\{x\in \mathbb {R} :F(x)\geq {\frac {k}{N}}\right\}$. Легко заметить, что $x_{N,0}=-\infty ;x_{N,N}=\infty ;\forall k\in \{1,\dots ,N-1\}\hookrightarrow x_{N,k}$ конечно

Рассмотрим теперь $x$ на произвольном промежутке $[x_{N,k},x_{N,k+1})$ и оценим интересующую нас разность через значения на концах:

${\hat {F}}(x)-F(x)\leq {\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k})={\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)+F(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k})\leq {\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)+{\frac {1}{N}}$

Аналогично прибавлением и вычитанием $F(x_{N,k})$ доказывается, что ${\hat {F}}(x)-F(x)\geq {\hat {F}}(x_{N,k})-F(x_{N,k})-{\frac {1}{N}}$

Получаем, что $D_{n}\leq \max _{1\leq k\leq N-1}\left(\max \left(|{\hat {F}}(x_{N,k+1}-0)-F(x_{N,k+1}-0)|,|{\hat {F}}(x_{N,k})-F(x_{N,k})|\right)+{\frac {1}{N}}\right)$

Теперь по следствию из УЗБЧ имеем ${\hat {F}}(x)\xrightarrow {\text{п.н.}} F(x),{\hat {F}}(x-0)={\hat {P}}((-\infty ,x))\xrightarrow {\text{п.н.}} P((-\infty ,x))\Rightarrow$ для достаточно больших $N\in \mathbb {N}$ и почти всех $\omega \in \Omega \hookrightarrow {\overline {\lim _{n}}}\sup _{x\in \mathbb {R} }|{\hat {F}}(x)-F(x)|{\stackrel {\text{п.н.}}{<}}\varepsilon \Rightarrow D_{n}(\omega )\xrightarrow {\text{п.н.}} 0$

См. также

• Теорема Колмогорова.