Выборочная функция распределения

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

ОпределениеПравить

Пусть   — выборка объёма  , порождённая случайной величиной  , задаваемой функцией распределения  . Будем считать, что  , где  , — независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов  . Пусть  . Определим функцию   следующим образом:

 ,

где   — индикатор события  ,   — функция Хевисайда. Таким образом, значение функции   в точке   равно относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение  . Функция   называется выборочной функцией распределения случайной величины  , или эмпирической функцией выборки, и является аппроксимацией для функции  . Существует теорема Колмогорова, утверждающая, что при   функция   равномерно сходится к  , и указывающая скорость сходимости. Для каждого положительного  ,   — случайная величина со значением  .

Основные свойстваПравить

 ,

где  , а   — количество элементов выборки, равных  . В частности, если все элементы выборки различны, то  .

Математическое ожидание этого распределения имеет вид:

 .

Таким образом, выборочное среднее — это теоретическое среднее выборочного распределения. Аналогично, выборочная дисперсия — это теоретическая дисперсия выборочного распределения.

 .
  • Выборочная функция распределения   является несмещённой оценкой функции распределения  :
 .
  • Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
 .
  почти наверное при  .
  по распределению при  .

См. такжеПравить