Асимптотически нормальная оценка

Асимптоти́чески норма́льная оце́нка — в математической статистике оценка, распределение которой стремится к нормальному распределению при увеличении размера выборки.

Определение

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ — выборка из распределения $\mathbb {P} _{\theta }$, зависящего от параметра $\theta \in \Theta$.

Точечная оценка ${\hat {\theta }}$ называется асимптотически нормальной с дисперсией $\sigma \ ^{2}(\theta )$, если

${\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)\to Z$ по распределению при $n\to \infty$,

где $Z\sim \mathrm {N} \left(0,\sigma ^{2}(\theta )\right)$ - нормальная случайная величина.

Замечание

Эквивалентно, оценка ${\hat {\theta }}$ асимптотически нормальна, если

${\frac {{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)}{\sigma (\theta )}}\to {\tilde {Z}}$ по распределению при $n\to \infty$,

где ${\tilde {Z}}\sim \mathrm {N} (0,1)$.

Свойства

• Асимптотически нормальная оценка ${\hat {\theta }}$ состоятельна.
• При выполнении достаточно общих технических условий оценка метода моментов асимптотически нормальна.

Примеры

• Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \sim \mathrm {U} [0,\theta ]$ - выборка из непрерывного равномерного распределения, где $\theta >0$. Пусть

${\hat {\theta }}_{1}=2{\bar {X}}$,

где ${\bar {X}}$ - выборочное среднее, а

${\hat {\theta }}_{2}=X_{(n)}$,

где $X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})$. Тогда оценка ${\hat {\theta }}_{1}$ является асимптотически нормальной с дисперсией $\sigma ^{2}(\theta )=\theta ^{2}/3$, а оценка ${\hat {\theta }}_{2}$ не является асимптотически нормальной.