Совершенное множество

(перенаправлено с «Теорема Кантора — Бендиксона»)

Совершенное множествозамкнутое множество, не имеющее изолированных точек, то есть совпадающее с множеством всех своих предельных точек.

Примеры править

Свойства править

  • Всякое непустое совершенное множество евклидова пространства имеет мощность континуума (обобщение теоремы Кантора о том, что каждое совершенное множество на отрезке числовой оси имеет мощность континуума)[1].
  • Множество точек конденсации любого множества является совершенным.

Теорема Кантора — Бендиксона править

Теорема Кантора — Бендиксона является утверждением о структуре всякого несчётного замкнутого множества. Эта теорема обобщена на случай замкнутых подмножеств метрического пространства со счётной базой (см. теорема Линделёфа)

Формулировка править

Всякое несчётное замкнутое множество   есть сумма совершенного множества своих точек конденсации и не более, чем счетного множества остальных точек.

Доказательство править

Доказательство опирается на три теоремы. Оно вытекает из теорем 2 и 3. Для доказательства достаточно заметить, что множество точек конденсации   в силу замкнутости  .

Теорема 1 править

Для того, чтобы точка   была точкой конденсации множества  , необходимо и достаточно, чтобы любая рациональная окрестность точки   содержала несчётное множество точек из  .

Пояснения править

Рациональной окрестностью точки   называется любой интервал с рациональными концами, содержащими эту точку, которая может и не быть центром интервала.

Доказательство править
Необходимость править

Пусть   — точка конденсации и   — произвольная рациональная окрестность точки  . Выберем  . Тогда окрестность   точки   попадёт целиком в  . Так как   — точка конденсации, то  , а тем самым и  , будут содержать несчётное множество точек из  .

Достаточность править

Пусть любая рациональная окрестность точки   содержит несчётное множество точек из  . Рассмотрим произвольную окрестность   точки   и пусть   и   — два рациональных числа, расположенные соответственно между   и   и между   и  . Тогда в окрестность   попадёт целиком рациональная окрестность   а вместе с ней и несчётное множество точек из  . Но это значит, что   есть точка конденсации.

Теорема 2 править

Формулировка править

Всякое несчётное множество   содержит несчётное множество своих точек конденсации.

Доказательство править

Пусть   — множество точек из  , не являющимися точками конденсации множества  . Если  , то доказывать нечего. Пусть   и   . Так как   не является точкой конденсации, то найдется рациональная окрестность   точки  , содержащая не более счётного множества точек из  , в том числе точек из  . Таким образом, все множество   может быть заключено в некоторую систему рациональных интервалов, каждый из которых содержит не более счётного числа точек из  . Так как всех рациональных интервалов счётное множество, то отсюда следует, что   также не более чем счётно. Тогда   — множество точек конденсации множества   несчетно.

Теорема 3 править

Формулировка править

Множество   точек конденсации несчётного множества   совершенно.

Доказательство править

Покажем сначала, что   замкнуто. Пусть   и   — произвольный рациональный интервал, содержащий точку  . Для достаточно малого   интервал   попадёт целиком внутрь  . Так как   — предельная точка для множества точек конденсации, то   содержит хотя бы одну точку конденсации  , а вместе с ней и некоторую окрестность точки  . Но тогда эта окрестность, а следовательно, и  , содержит несчётное множество точек из  , и поскольку   — произвольная рациональная окрестность точки  , то   есть точка конденсации, то есть  . Покажем, что   не содержит изолированных точек. Пусть   — произвольная точка из   и   — произвольная окрестность точки  . Тогда эта окрестность содержит несчётное множество точек из   . Рассмотрим несчётное множество  . По теореме 1 оно содержит несчётное множество своих точек конденсации. Каждая точка конденсации для   есть в то же время точка конденсации для  . Следовательно, внутрь   попадает несчётное множество точек из  , и, таким образом,   не является изолированной точкой этого множества.

Примечания править

  1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — С. 65. — 436 с.

Литература править

  • Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968. — С. 79.