Теорема Ли

Теорема Ли — теорема о представлених разрешимых алгебр Ли.

Формулировка

Пусть $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ есть конечномерное представление разрешимой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Тогда $\pi ({\mathfrak {g}})$ имеет инвариантный флаг подпространств $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\operatorname {codim} V_{i}=i$; то есть $\pi (X)V_{i}\subset V_{i}$ для каждого $X\in {\mathfrak {g}}$ и i.

Замечания

• Другими словами, теорема утверждает, что можно выбрать базис в $V$ такой, что все линейные преобразования $\pi ({\mathfrak {g}})$ задаются верхнетреугольными матрицaми.
  • Это утверждение обобщает результат Фробениуса, о том что коммутирующие матрицы допускают одновременную триангулизацию.

• Теорема не выполняется для алгебраически замкнутых полей ненулевой характеристики. Однако утверждение теорем становится верным если размерность $V$ меньше характеристики поля.

Следствия

• Теорема применима к присоединенному представлению $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ (конечномерной) разрешимой алгебры ли ${\mathfrak {g}}$. Таким образом, можно выбрать базис в ${\mathfrak {g}}$, по отношению которого $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$ состоит из верхних треугольных матриц.
  • Из этого следует, что для любых $x,y\in {\mathfrak {g}}$, $\operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]$ имеет нулевую диагональ; значит $\operatorname {ad} ([x,y])$ нильпотентен. По теореме Энгеля, это означает, что $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ является нильпотентной алгеброй Ли; обратное утверждение очевидно верно. То есть, конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем характеристики ноль разрешима, тогда и только тогда, когда производная алгебра $D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ нильпотентна.

См. также

• Теорема Энгеля — аналогичная теорема о нильпотентных алгебрах Ли.
• Теорема Ли — Колчина — аналогичная теорема о разрешимой алгебраических группах.