Теорема Ли — Колчина

Теорема Ли — Колчина — это теорема теории представлений линейных алгебраических групп. Теорема Ли является аналогом для линейных алгебр Ли.

Формулировка

Если G является связной разрешимой линейной алгебраической группой, определённой над алгебраически замкнутым полем, а

$\rho \colon G\to GL(V)$

представление на ненулевом конечномерном векторном пространстве V, то имеется одномерное линейное подпространство L пространства V, такое что

$\rho (G)(L)=L.$

То есть, $\rho (G)$ имеет инвариантную прямую L, на которой G действует посредством одномерного представления. Это эквивалентно утверждению, что V содержит ненулевой вектор v, который является общим (одновременным) собственным вектором для всех $\rho (g),\,\,g\in G$.

Замечания

• Из теоремы немедленно следует, что любое неприводимое конечномерное представление связной разрешимой линейной алгебраической группы G имеет размерность единица. Фактически, это другой способ утверждения теоремы Ли — Колчина.

• Теорема Ли утверждает, что любое ненулевое представление разрешимой алгебры Ли на конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутом поле характеристики 0 имеет одномерное инвариантное подпространство.

• Аналогичный результат для алгебр Ли доказал Софус Ли, а для алгебраических групп доказал Колчин.

• Теорема Бореля о неподвижной точке обобщает теорему Ли — Колчина.

Триангуляризация

Иногда эта теорема упоминается как Теорема Ли — Колчина о триангуляризации, поскольку по индукции из неё следует, что при подходящем базисе в V образ $\rho (G)$ имеет треугольный вид. Другими словами, образ группы $\rho (G)$ сопряжён в GL(n,K) (где n = dim V) в подгруппу группы T треугольных матриц, стандартной подгруппы Бореля группы GL(n,K) — образ одновременно триангуляризуем.

Теорема верна, в частности, для подгруппы Бореля полупростой линейной алгебраической группы G.

Контрпример

Если поле K не замкнуто алгебраически, теорема может не выполняться. Стандартная единичная окружность, рассматриваемая как множество комплексных чисел $\{x+iy\in \mathbb {C} \mid x^{2}+y^{2}=1\}$ с абсолютным значением единица, является одномерной коммутативной (а потому разрешимой) линейной алгебраической группой над вещественными числами, которая имеет двумерное представление в ортогональной группе SO(2) без инвариантной (вещественной) прямой. Здесь образ $\rho (z)$ числа $z=x+iy$ является ортогональной матрицей

${\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}.$

Литература

• Gorbatsevich V.V. Lie–Kolchin theorem // Encyclopedia of Mathematics. — EMS Press, 2001.
• Kolchin E. R. Algebraic matric groups and the Picard-Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations // Annals of Mathematics. — 1948. — Т. 49. — С. 1–42. — ISSN 0003-486X. — doi:10.2307/1969111. — .
• Sophus Lie. Theorie der Transformationsgruppen. Abhandlung II // Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. — 1876. — Т. 1. — С. 152–193.
• William C. Waterhouse. chapter 10, в частности, секция 10.2) // Introduction to Affine Group Schemes. — Springer Verlag New York, 1979. — Т. 66. — (Graduate Texts in Mathematics).