Теорема Линника

Теорема Линника — утверждение теории чисел, являющееся усилением теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Теорема даёт верхнюю оценку на значение чисел, существование которых доказывает теорема Дирихле.

Теорема доказана Юрием Линником в 1944 году.

Для доказательства был использован математический аппарат характеров и функций Дирихле, типичный для задач, связанных с простыми числами в бесконечных арифметических прогрессиях.

Формулировка

Для взаимопростых чисел $a,d$ $(a<d)$ обозначим через $p(a,d)$ минимальное число в прогрессии вида $a+nd,n=0,1,2,\dots$, являющееся простым. Существуют такие абсолютные константы $c,L$, что для любых взаимопростых $a,d$ $(a<d)$ выполняется $p(a,d)<cd^{L}$

Другие свойства и гипотезы

Из обобщённой гипотезы Римана следовало бы, что

$p(a,d)\leq \varphi (d)^{2}{(\ln d)}^{2}$,

где $\varphi$ — функция Эйлера.

Существует также гипотеза, что $p(a,d)<d^{2}$

Улучшение оценок на показатель L

Показатель $L$ в оценке $p(a,d)<cd^{L}$ иногда называют константой Линника. Хотя ещё первая работа Линника показывала, что эта константа эффективно вычислима, однако в работе не делались попытки вычислить точное её значение. Впоследствии константа Линника многократно улучшалась. Ниже приведена история этих улучшений.

L ≤	Год публикации	Автор
10000	1957	Пан Ченгдонг
5448	1958	Пан Ченгдонг
777	1965	Chen Jingrun
630	1971	Matti Jutila
550	1970	Matti Jutila
168	1977	Chen Jingrun
80	1977	Matti Jutila
36	1977	Сидней Грэхем
20	1981	Сидней Грэхем
17	1979	Chen Jingrun
16	1986	Вонг
13,5	1989	Chen Jingrun и Liu
8	1990	Вонг
5,5	1992	Хиз-Браун
5,18	2009	Xylouris
5	2011	Xylouris

См. также

• Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии