Теорема Риса о полноте

Теорема Риса о полноте — утверждение функционального анализа о полноте пространства Лебега $L_{2}\left(a,b\right)$. Названа по имени венгерского математика Фридьеша Риса, установившего результат.

Формулировка

Каждая последовательность $\left\{f_{n}(x)\right\}$ функций с интегрируемым на $\left[a,b\right]$ квадратом, сходящаяся в среднем в себе, сходится в среднем к некоторой функции, также принадлежащей пространству $L_{2}\left(a,b\right)$.

Доказательство

Пусть задано произвольное $\epsilon >0$. Найдется номер $n_{\epsilon }$, такой что $\int _{a}^{b}\left\{f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\right\}^{2}dx<\epsilon ^{2}$ при $n\geqslant n_{\epsilon },p>0$. Возьмем $\epsilon ={\frac {1}{2}},{\frac {1}{2^{2}}},{\frac {1}{2^{3}}},...,{\frac {1}{2^{k}}},...$ и для каждого $\epsilon ={\frac {1}{2^{k}}}$ подберем соответствующий номер $n_{k}$. Можно считать, что $n_{1}<n_{2}<....<n_{k}<...$. Таким образом, $\int _{a}^{b}\left\{f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}$. Взяв, в частности $n=n_{k},n+p=n_{k+1}$, будем иметь $\int _{a}^{b}\left\{f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}$. Неравенство Коши — Буняковского даст $\int _{a}^{b}\left|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right|dx=\int _{a}^{b}\left|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right|*1dx\leqslant {\sqrt {\int _{a}^{b}dx}}{\sqrt {\int _{a}^{b}\left\{f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx}}<{\sqrt {b-a}}*{\frac {1}{2^{k}}}$. И поэтому положительный ряд $\int _{a}^{b}\left|f_{n_{1}}(x)\right|dx+\sum _{k=1}^{\infty }\left|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right|^{2}dx$ сходится, так как его члены не превышают членов сходящегося геометрического ряда. Покажем, что $f(x)\in L_{2}\left(a,b\right)$. Положим в неравенстве $\int _{a}^{b}\left\{f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}$ $n=n_{k}$ а $n+p=n_{m}$, где $m>k$. Получим $\int _{a}^{b}\left\{f_{n_{m}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}$. Пусть $m\rightarrow \infty$.Тогда подынтегральные функции стремятся почти всюду к $\left\{f(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}$ и в силу их неотрицательности можно применить лемму Фату. Будем иметь $\int _{a}^{b}\left\{f(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx\leqslant \sup _{m>k}\int _{a}^{b}\left\{f_{n_{m}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}$, то есть $f(x)\in L_{2}\left(a,b\right)$. Теперь неравенство $\int _{a}^{b}\left\{f(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx\leqslant \sup _{m>k}\int _{a}^{b}\left\{f_{n_{m}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}$ показывает, что подпоследовательность $\left\{f_{n_{k}}(x)\right\}$ сходится в среднем к $f(x)$. Докажем, что и вся последовательность $\left\{f_{n}(x)\right\}$ сходится к той же функции. Согласно неравенству треугольника имеем $\left\|f_{n}-f\right\|\leqslant \left\|f_{n}-f_{n_{k}}\right\|+\left\|f_{n_{k}}-f\right\|$. Для произвольного $\epsilon >0$ возьмем сначала $k$ так, чтобы ${\frac {1}{2^{2k}}}<{\frac {\epsilon }{2}}$. Тогда в силу $\int _{a}^{b}\left\{f(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx\leqslant \sup _{m>k}\int _{a}^{b}\left\{f_{n_{m}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}$ получаем $\left\|f_{n_{k}}-f\right\|<{\frac {\epsilon }{2}}$. Если, кроме того, выбрать $n_{k}$ настолько большим, чтобы при $n\geqslant n_{k}$ имело место неравенство $\left\|f_{n}-f_{n_{k}}\right\|<{\frac {\epsilon }{2}}$, что возможно в силу сходимости в среднем к себе последовательности $\left\{f_{n}(x)\right\}$, то будем иметь $\left\|f_{n}-f\right\|<\epsilon$ при $n\geqslant n_{k}$, а это и означает требуемую сходимость.

Литература

• Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 218.