Возьмём в пространстве
L
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)}
какую-нибудь полную ортонормальную систему
{
φ
i
(
t
)
}
{\displaystyle \left\{\varphi _{i}(t)\right\}}
. Тогда для любого
x
(
t
)
∈
L
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle x(t)\in L_{2}\left(a,b\right)}
имеем
x
(
t
)
=
∑
i
=
1
∞
ξ
i
φ
i
(
t
)
,
ξ
i
=
(
x
,
φ
i
)
{\displaystyle x(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}\varphi _{i}(t),\xi _{i}=\left(x,\varphi _{i}\right)}
, причем в силу равенства Парсеваля
∑
i
=
1
∞
ξ
i
2
=
‖
x
‖
2
<
∞
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}^{2}=\left\|x\right\|^{2}<\infty }
.
Таким образом, последовательность коэффициентов Фурье функции
x
(
t
)
∈
L
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle x(t)\in L_{2}\left(a,b\right)}
можно рассматривать как элемент
x
∈
l
2
{\displaystyle x\in l_{2}}
гильбертова пространства
l
2
{\displaystyle l_{2}}
x
=
{
ξ
1
,
ξ
2
,
.
.
.
,
ξ
n
,
.
.
.
}
{\displaystyle x=\left\{\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n},...\right\}}
. При этом соответствие
x
(
t
)
→
x
{\displaystyle x(t)\rightarrow x}
однозначно. Пусть, наоборот, дан элемент
y
¯
=
{
η
1
,
η
2
,
.
.
.
,
η
n
,
.
.
.
}
{\displaystyle {\bar {y}}=\left\{\eta _{1},\eta _{2},...,\eta _{n},...\right\}}
гильбертова пространства
l
2
{\displaystyle l_{2}}
. Рассмотрим в
L
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)}
формально ряд
∑
i
=
1
∞
η
i
φ
i
(
t
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}\varphi _{i}(t)}
, где
{
φ
i
(
t
)
}
{\displaystyle \left\{\varphi _{i}(t)\right\}}
— та же самая полная ортонормальная система. Последовательность
s
n
(
t
)
=
∑
i
=
1
n
η
i
φ
i
(
t
)
{\displaystyle s_{n}(t)=\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}\varphi _{i}(t)}
частичных сумм этого ряда сходится в среднем в себе, ибо
‖
s
n
+
p
−
s
n
‖
2
=
‖
∑
i
=
n
+
1
n
+
p
η
i
φ
i
(
t
)
‖
2
=
∑
i
=
n
+
1
n
+
p
η
i
2
→
0
{\displaystyle \left\|s_{n+p}-s_{n}\right\|^{2}=\left\|\sum _{i=n+1}^{n+p}\eta _{i}\varphi _{i}(t)\right\|^{2}=\sum _{i=n+1}^{n+p}\eta _{i}^{2}\rightarrow 0}
при
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
и
p
>
0
{\displaystyle p>0}
в силу сходимости ряда
∑
i
=
1
∞
η
i
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}^{2}}
. Так как пространство
L
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)}
полное, это значит, что ряд
∑
i
=
1
∞
η
i
φ
i
(
t
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}\varphi _{i}(t)}
сходится, его сумма имеет коэффициенты Фурье
η
i
{\displaystyle \eta _{i}}
и эту сумму
y
(
t
)
∈
L
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle y(t)\in L_{2}\left(a,b\right)}
ставим в соответствие элементу
y
¯
{\displaystyle {\bar {y}}}
. Опять соответствие
y
¯
→
y
(
t
)
{\displaystyle {\bar {y}}\rightarrow y(t)}
однозначно. Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами пространства
L
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)}
и
l
2
{\displaystyle l_{2}}
. Так как, очевидно
x
(
t
)
+
y
(
t
)
=
∑
i
=
1
∞
ξ
i
φ
i
(
t
)
+
∑
i
=
1
∞
η
i
φ
i
(
t
)
=
∑
i
=
1
∞
(
ξ
i
+
η
i
)
φ
i
(
t
)
{\displaystyle x(t)+y(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}\varphi _{i}(t)+\sum _{i=1}^{\infty }\eta _{i}\varphi _{i}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\xi _{i}+\eta _{i}\right)\varphi _{i}(t)}
и
λ
x
(
t
)
=
λ
∑
i
=
1
∞
ξ
i
φ
i
(
t
)
=
∑
i
=
1
∞
λ
ξ
i
φ
i
(
t
)
{\displaystyle \lambda x(t)=\lambda \sum _{i=1}^{\infty }\xi _{i}\varphi _{i}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda \xi _{i}\varphi _{i}(t)}
, то из
x
(
t
)
↔
x
,
y
(
t
)
↔
y
{\displaystyle x(t)\leftrightarrow x,y(t)\leftrightarrow y}
следует
x
(
t
)
+
y
(
t
)
↔
x
+
y
,
λ
x
(
t
)
↔
λ
x
{\displaystyle x(t)+y(t)\leftrightarrow x+y,\lambda x(t)\leftrightarrow \lambda x}
, то есть установленное нами соответствие есть изоморфизм. Наконец, для любых двух элементов
x
(
t
)
,
y
(
t
)
∈
L
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle x(t),y(t)\in L_{2}\left(a,b\right)}
имеем в силу равенства Парсеваля
‖
x
(
t
)
−
y
(
t
)
‖
2
=
‖
∑
i
=
1
∞
(
ξ
i
−
η
i
)
φ
i
(
t
)
‖
2
=
∑
i
=
1
∞
(
ξ
i
−
η
i
)
2
=
‖
x
−
y
‖
2
{\displaystyle \left\|x(t)-y(t)\right\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{\infty }\left(\xi _{i}-\eta _{i}\right)\varphi _{i}(t)\right\|^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\xi _{i}-\eta _{i}\right)^{2}=\left\|x-y\right\|^{2}}
и установленное нами соответствие сохранит расстояние, то есть
L
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)}
и
l
2
{\displaystyle l_{2}}
изометричны.