Теорема Эрдёша — Сёкефальви-Надя

Теорема Эрдёша — Сёкефальви-Надя — результат в комбинаторной геометрии, согласно которому многоугольник без самопересечений может быть преобразован в выпуклый многоугольник путём конечного числа зеркальных отражений «карманов» — связных компонентов выпуклой оболочки. На каждом шаге определяется выпуклая оболочка многоугольника, и её ребро, относительно которого осуществляется отражение. Конечный многоугольник может иметь параллельные смежные рёбра, то есть быть слабо выпуклым. Помимо отражения, карман может быть преобразован поворотом на 180° относительно центра ребра оболочки. Такое преобразование оказывается более эффективным средством достижения выпуклости многоугольника[1].

Отражение кармана

Гипотезу сформулировал Пал Эрдёш в 1935 году и опубликовал в журнале American Mathematical Monthly. В 1939 году Сёкефальви-Надь доказал и опубликовал теорему.

Теорема

править

Любой многоугольник без самопересечений может быть преобразован в слабо выпуклый конечным числом отражений карманов от ребер выпуклой оболочки.

История

править

Теорема имеет курьёзную историю и была неоднократно передоказана. В 1995 году Бранко Грюнбаум обнаружил в оригинальном доказательстве малозаметную ошибку, которую ему удалось устранить.

Вариации и обобщения

править
  • Джосс и Шеннон доказали, что требуемое число отражений нельзя ограничить даже для четырехугольников. Они также дали оценку на число поворотов.
    • Любой  -угольник без самопересечений может быть преобразован в слабо выпуклый не более чем   поворотом карманов относительно ребер выпуклой оболочки.
      • Авторы теоремы выдвинули гипотезу, что на самом деле достаточно   поворотов[2]. На 2013 год она не доказана.
    • Тереома Грюнбаума — Закса: Любой многоугольник может быть преобразован в слабо выпуклый конечным числом поворотов карманов относительно ребер выпуклой оболочки.

Примечания

править
  1. Бранко Грюнбраум и Джозеф Закс. Convexification of polygons by flips and by flipturns // Discrete Math. — 2001. — Т. 241. — С. 333—342. Архивировано 30 мая 2013 года.
  2. Бранко Грюнбаум. How to convexify a polygon // Geombinatorics. — 1995. — № 5. — С. 24—30.

Литература

править

Ссылки

править