Открыть главное меню

Лемма о трезубце

(перенаправлено с «Теорема о трезубце»)

Лемма о трезубце, также называемая леммой о трилистнике и леммой Мансиона, — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами вписанной, вневписанной и описанной окружностей треугольника.

Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.

Название «лемма Мансиона» — в честь французского математика Поля Мансьона.

ФормулировкаПравить

 
Лемма о трезубце.
 
Лемма о трилистнике.
 
Лемма Мансиона.

Пусть в треугольнике   точка   — центр вписанной окружности, точка   — центр вневписанной окружности, противоположной вершине  , а точка   — точка пересечения отрезка   с дугой описанной окружности (см. справа). Тогда точка   равноудалена от  ,  ,   и  .

Частные варианты этого утверждения носят различные названия

  • Теорема Мансиона[1]:   равноудалена от   и  .
  • Лемма о трилистнике[источник не указан 173 дня], или лемма о трезубце[2], или лемма Мансиона[3]:   равноудалена от  ,   и  .
  • Лемма о трезубце[4]:   равноудалена от  ,  ,   и  .

Другой вариант задания точки   — как центра дуги   описанной окружности, не содержащей точки  [3].

ДоказательствоПравить

Под   будем понимать углы   соответственно. Если луч   пересекает описанную окружность в точке  , то   является средней точкой дуги  , отрезок   является биссектрисой угла  . Проведя отрезок  , заметим, что

 

потому что   внешний к треугольнику  , а также

  потому что   и   равны, так как опираются на одну дугу  .

Значит, треугольник   равнобедренный, т.е,   Равенство   следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол   Таким образом,  

Мы показали, что  . Теперь докажем что «ручка» трезубца   равна этой же величине.

Продлим сторону   за точку   и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку  . Под   будем понимать   под   будем иметь в виду угол  

Тогда нам нужно понять, что треугольник   равнобедренный, то есть, что  .

С одной стороны,

 

и

  так как   внешний в треугольнике :  т.е,  

Вариации и обобщенияПравить

 
Внешняя лемма о трезубце
  • Лемма о трезубце для двух центров вневписанных окружностей («внешняя» лемма о трезубце)

Связь с окружностью ЭйлераПравить

Через лемму о трезубце можно изящно доказать окружность Эйлера.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники  ,  ,   вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы   (рис 2).

 
рисунок 1
 
рисунок 2

Из этого следует, что   — биссектриса в треугольнике  . По совершенно аналогичным причинам   и   тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что       — внешние биссектрисы к треугольнику   (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).

 
рисунок 3
 
рисунок 4

Из этого получим, что середины отрезков   лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5).

 
рисунок 5

Получим, что середины сторон   лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.

ЗамечаниеПравить

Для того, чтобы доказать окружность Эйлера для тупоугольного треугольника   c тупым углом  , достаточно рассмотреть остроугольный треугольник   с ортоцентром  , и применить к нему те же рассуждения.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Задача 52395 // «Система задач по геометрии Р. К. Гордина»
  2. Акопян А. В. Геометрия в картинках.
  3. 1 2 Емельянов Л. А. Точка Шиффлера: памяти И. Ф. Шарыгина. — Математика в школе, 2006. — № 6. — С. 58—60. — ISSN 0130-9358.
  4. Р. Н. Карасёв. Задачи для школьного математического кружка / Р. Н. Карасёв, В. Л. Дольников, И. И. Богданов, А. В. Акопян. — С. 4.