Геометрия треугольника

Геоме́трия треуго́льника — раздел планиметрии, изучающий свойства треугольника и связанные с ним объекты — центры, прямые и так далее.

Теорема Морлея: точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами правильного (равностороннего) треугольника. Это одно из свойств треугольника открытых в XX веке.

История

Геометрия треугольника — одна из древнейших областей планиметрии. Наиболее активно развивалась в древней Греции и с середины 18-го до середины 20-го века.

В конце 20-го века развитие компьютеров дало возможность продолжить систематическое изучение геометрических структур, возникающих в треугольнике, и их свойств. Наряду с этим, заметный прогресс в развитии данной области стал возможен благодаря экспериментальным исследованиям с использованием приближённых вычислений, подтверждаемых методами вычислительной алгебры.

Некоторые общие теоремы

• Теорема Чевы о пересечении трёх прямых в одной точке.
• Теорема Менелая о нахождении трёх точек на одной прямой.
• Теорема Стюарта о длине секущей, проведенной через вершину.
• Теорема Шаля для проекции треугольника на направленную прямую. При любом расположении трех точек $A,B$ и $C$ для проекции треугольника $ABC$ на направленную прямую $OX$ выполняется следующее соотношение для направленных отрезков: $AB_{OX}+BC_{OX}+CA_{OX}=0$. Здесь, например, $AB_{OX}$ проекция стороны $AB$ на направленную прямую $OX$.

См. также

• Треугольник

Литература

• Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — 334 с.
• Ефремов Д. Д. Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).. — Москва: Ленанд, 2015. — 352 с. — ISBN 978-5-9710-2186-5.
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника.. — М.:: УЧПЕДГИЗ, 1962..
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости.. — М.: МЦНМО, 2004. — 312 с.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры. — М.: МЦНМО, 2009. — 193 с.

• Коксетер Г., Грейтцер С. Новые встречи с геометрией.
• Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Учебное пособие. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.
• Weisstein Eric W. «Triangle Geometry.» From MathWorld — A Wolfram Web Resource. (англ.)