Теория Серфа

На границе теории особенностей и дифференциальной топологии теория Серфа изучает семейства гладких вещественнозначных функций

$f\colon M\to \mathbb {R}$

на гладком многообразии $M$, их типичные особенности и топологию подпространств, которую эти особенности определяют, как подпространств пространства функций. Теория названа именем Жона Серфа, который начал развивать теорию в конце 1960-х.

Пример

Марстон Морс доказал, что если $M$ компактно, любая гладкая функция

$f\colon M\to \mathbb {R}$

может быть аппроксимирована функцией Морса. Таким образом, для многих целей можно заменить произвольные функции на $M$ функциями Морса.

Следующий шаг, можно спросить: «Если у вас есть 1-параметрическое семейство функций, которое начинается и кончается функциями Морса, можем ли мы быть уверенными, что всё семейство состоит из функций Морса?» В общем случае ответом будет нет. Рассмотрим, например, семейство

$f_{t}(x)=(1/3)x^{3}-tx$

как 1-параметрическое семейство функций на $M=\mathbb {R}$. В момент

$t=-1$

функция не имеет критических точек, а в момент

$t=1$

функция является функцией Морса с двумя критическими точками

$x=\pm 1$.

Серф показал, что 1-параметрическое семейство функций между двумя функциями Морса может быть аппроксимировано семейством функций Морса во всех точках времени, кроме конечного числа. Вырождение проявляется в появлении/исчезновении критических точек, как в примере выше.

Расслоение бесконечномерного пространства

Вернёмся в общему случаю, когда $M$ является компактным многообразием. Пусть $\operatorname {Morse} (M)$ обозначает пространство функций Морса

$f\colon M\to \mathbb {R} \,$

а $\operatorname {Func} (M)$ обозначает пространство гладких функций

$f\colon M\to \mathbb {R}$.

Морс доказал, что

$\operatorname {Morse} (M)\subset \operatorname {Func} (M)$

является открытым и плотным в топологии $C^{\infty }$.

Имеется интуитивная аналогия. Рассмотрим функции Морса как открытый слой максимальной размерности в расслоении $\operatorname {Func} (M)$ (мы не утверждаем, что такое расслоение существует, но предполагаем, что оно есть). Заметим, что в расслоённых пространствах открытый слой коразмерности 0 является открытым и плотным. С целью упрощения обозначений делаем соглашения об индексировании расслоений в расслоённом пространстве обратными и индексируем открытый слой не по его размерности, а по его коразмерности. Это удобнее, поскольку $\operatorname {Func} (M)$ бесконечномерно, если $M$ не является конечным множеством. По предположению открытый слой с коразмерностью 0 пространства $\operatorname {Func} (M)$ является $\operatorname {Morse} (M)$, то есть $\operatorname {Func} (M)^{0}=\operatorname {Morse} (M)$. В расслоённом пространстве $X$ часто $X^{0}$ несвязно. Существенной характеристикой слоя с коразмерностью 1 $X^{1}$ является то, что любой путь в $X$, который начинается и кончается в $X^{0}$, может быть аппроксимирован путём, который пересекает $X^{1}$ перпендикулярно в конечном числе точек и не пересекает $X^{i}$ для любого $i>1$.

Тогда теория Серфа — это теория, изучающая слои $\operatorname {Func} (M)$ с положительной коразмерностью, то есть $\operatorname {Func} (M)^{i}$ для $i>0$. В случае

$f_{t}(x)=x^{3}-tx$,

только для $t=0$ функция не является функцией Морса и

$f_{0}(x)=x^{3}$

имеет кубическую вырожденную критическую точку, соответствующую появлению/исчезновению особенности.

Единственный параметр (время), утверждение теоремы

Теорема Морса утверждает, что если $f\colon M\to \mathbb {R}$ является функцией Морса, то рядом с критической точкой $p$ она сопряжена с функцией $g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ вида

$g(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+\epsilon _{1}x_{1}^{2}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}$,

где $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\}$.

Теорема Серфа для 1-параметрического семейства устанавливает существенное свойство слоя коразмерности один.

А именно, если $f_{t}\colon M\to \mathbb {R}$ является 1-параметрическим семейством гладких функций на $M$ с $t\in [0,1]$ и $f_{0},f_{1}$ являются функциями Морса, то существует гладкое 1-параметрическое семейство $F_{t}\colon M\to \mathbb {R}$, такое, что $F_{0}=f_{0},F_{1}=f_{1}$, $F$ равномерно близка к $f$ в $C^{k}$-топологии на функциях $M\times [0,1]\to \mathbb {R}$. Более того, $F_{t}$ являются функциями Морса во всех точках, кроме конечного числа. В точках, в которых функция не является функцией Морса, функция имеет только одну вырожденную критическую точку $p$ и рядом с этой точкой семейство $F_{t}$ сопряжено с семейством

$g_{t}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(p)+x_{1}^{3}+\epsilon _{1}tx_{1}+\epsilon _{2}x_{2}^{2}+\dotsb +\epsilon _{n}x_{n}^{2}$

где $\epsilon _{i}\in \{\pm 1\},t\in [-1,1]$. Если $\epsilon _{1}=-1$, это будет 1-параметрическое семейство функций, в котором создаются две критические точки (при возрастании $t$), а для $\epsilon _{1}=1$ это будет 1-параметрическое семейство, в котором две критические точки исчезают.

Истоки

Кусочно-линейную-задачу Шёнфлиса для $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ решил Дж. У. Александер в 1924. Его доказательство приспособили для гладкого случая Морс и Байада. Существенное свойство использовал Серф для доказательства, что любой сохраняющий ориентацию диффеоморфизм $S^{3}$ изотопен тождественному, что рассматривается как 1-параметрическое расширение теоремы Шёнфлиса для $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$. Следствие $\Gamma _{4}=0$ в то время имело широкое применение в дифференциальной топологии. Существенное свойство позднее Серф использовал для доказательства теоремы о псевдоизотопии для многомерных односвязных многообразий. Доказательство является 1-параметрическим расширением доказательства Смейла теоремы о h-кобордизме (Морс, а также Милнор и Серф-Грамейн-Морин переписали по предложению Тома доказательство Смейла в терминах функциональной концепции).

Доказательство Серфа построено на работе Тома и Мазера. Полезным современным обзором работы Тома и Мазера является книга Глубитского и Гильмена.

Приложения

Помимо вышеупомянутых применений, Робион Кёрби использовал теорию Серфа в качестве ключевого шага в обосновании исчисления Кёрби.

Обобщение

Расслоение дополнения подпространства бесконечной коразмерности пространства гладких отображений $\{f\colon M\to \mathbb {R} \}$ со временем разработал Сержераер.

В семидесятые годы задачу классификации для псевдоизотопий многообразий, не являющихся односвязными, решили Хэтчер и Вагонер, открыв алгебраические $K_{i}$-разрушения на $\pi _{1}M$ ($i=2$) и $\pi _{2}M$ ($i=1$), и Киёси Игуса, который открыл разрушения аналогичной природы на $\pi _{1}M$ ($i=3$).