Экзотическая сфера

Экзотическая сферагладкое многообразие М, которое гомеоморфно, но не диффеоморфно стандартной n-сферe

ИсторияПравить

Первые примеры экзотических сфер были построены Джоном Милнором в размерности 7; он доказал, что на   существует как минимум 7 различных гладких структур. Теперь известно, что на ориентированной   существует 28 различных гладких структур (15 без учёта ориентации).

Эти примеры, так называемые сферы Милнора, были найдены среди пространств  -расслоений над  . Такие расслоения классифицируются двумя целыми числами   и   — элементом  . Некоторые из этих расслоений   гомеоморфны стандартной сфере, и при этом не диффеоморфны ей.

Поскольку   односвязны, согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, проверка гомеоморфности   и   сводится к подсчёту гомологий  ; это условие накладывает определённые условия на   и  .

В доказательстве не диффеоморфности Милнор рассуждает от противного. Он замечает, что многообразие   представляют из себя границу 8-мерного многообразия — пространства   расслоения диска   над  . Далее, если   диффеоморфно стандартной сфере, то   можно заклеить шаром, получив замкнутое гладкое 8-мерное многообразие. Подсчёт сигнатуры полученного многообразия через его числа Понтрягина приводит к противоречию.

КлассификацияПравить

Связная сумма двух экзотических n-мерных сфер — также экзотическая сфера. Операция связной суммы превращает различные гладкие структуры на ориентированной n-мерной сфере в моноид, называемый моноидом экзотических сфер.

n ≠ 4Править

Для   известно, что моноид экзотических сфер является абелевой группой, называемой группой экзотических сфер.

Эта группа тривиальна для  . То есть в этих размерностях существование гомеоморфизма на стандартную сферу   влечёт существование диффеоморфизма на  . При   она изоморфна циклической группе порядка 28. То есть существует семимерная экзотическая сфера  , такая, что любая 7-мерная экзотическая сфера диффеоморфна связной сумме нескольких копий  ; при этом связная сумма 28 копий   диффеоморфна стандартной сфере  .

Группа экзотических сфер изоморфна группе Θn классов ориентированных h-кобордизмов гомотопической n-сферы. Эта группа конечна и абелева.

Группа   имеет циклическую подгруппу

 ,

соответствующую  -сферам, которые ограничивают параллелизуемые многообразия.

  • Если n чётное, то группа   тривиальна,
  • Если  , то группа   имеет порядок 1 или 2
    • Она имеет порядок 1 при n = 1, 5, 13, 29 или 61.
    • Она имеет порядок 2 при  , если при этом  
  • Если  , то есть  , то при   порядок равен
    •  ,
где   — это числитель дроби  ,  числа Бернулли. (Иногда формула несколько отличается из-за разных определений чисел Бернулли.)

Факторгруппы   описываются через стабильные гомотопические группы сфер по модулю образа J-гомоморфизма). Точнее, существует инъективный гомоморфизм

 ,

где   — n-я стабильная гомотопическая группа сфер, и   — образ J-гомоморфизма. Этот гомоморфизм либо является изоморфизмом, либо имеет образ индекса 2. Последнее случается тогда и только тогда, когда существует n-мерное параллелизуемое многообразие с инвариантом Кервера (англ.) 1.

Вопрос о существовании такого многообразия называется задачей Кервера. По состоянию на 2012 год она не решена только для случая  . Многообразия с инвариантом Кервера 1 были построены в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62.

Размерность n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Порядок Θn 1 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 2 16 16 523264 24
Порядок bPn+1 1 1 1 1 1 1 28 1 2 1 992 1 1 1 8128 1 2 1 261632 1
Порядок Θn/bPn+1 1 1 1 1 1 1 1 2 2×2 6 1 1 3 2 2 2 2×2×2 8×2 2 24
Порядок πnS/J 1 2 1 1 1 2 1 2 2×2 6 1 1 3 2×2 2 2 2×2×2 8×2 2 24
Индекс - 2 - - - 2 - - - - - - - 2 - - - - - -

Дальнейшие значения в этой таблице могут быть вычислены из информации выше вместе с таблицей стабильных гомотопических группы сфер.

В нечётных размерностях, сферы   и только они имеют единственную гладкую структуру.Wang & Xu (2017)

n = 4Править

В размерности   практически ничего не известно о моноиде гладких сфер, кроме того, что он является конечным или счётно-бесконечным и абелевым. Неизвестно, существуют ли экзотические гладкие структуры на 4-мерной сфере. Утверждение, что их нет, известно как «гладкая гипотеза Пуанкаре».

Так называемое скручивание Глака состоит в вырезании трубчатой окрестности 2-сферы S2 в S4 и вклеивании его обратно с помощью диффеоморфизма его границы  . Результат всегда гомеоморфен S4, но в большинстве случаев неизвестно, диффеоморфен ли он S4.

Скрученные сферыПравить

Пусть дан диффеоморфизм  , сохраняющий ориентацию. Склеив две копии шара по отображению   между границами, получим так называемую сферу, скученную диффеоморфизмом  . Скрученная сфера гомеоморфна стандартной, но, вообще говоря, не диффеоморфна ей.

Иначе говоря, многообразие называется скученной сферой, если оно допускает функцию Морса ровно с двумя критическими точками.

  • При n ≠ 4 любая экзотическая сфера диффеоморфна некоторой скрученной сфере.
  • При n = 4 любая скрученная сфера диффеоморфна стандартной.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

Внешние ссылкиПравить