Теория Ходжа

Теория Ходжа занимается изучением дифференциальных форм на гладких многообразиях. Более конкретно, эта теория изучает, каким образом обобщённый лапласиан, ассоциированный с римановой метрикой на многообразии M, влияет на его группы когомологий с вещественными коэффициентами.

Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-х годах как обобщение когомологий де Рама. Теория Ходжа имеет основные приложения на трёх уровнях:

• Римановы многообразия
• Кэлеровы многообразия
• Комплексные проективные многообразия.

В ранних работах многообразие M предполагалось замкнутым (то есть компактным и без края). На всех трёх уровнях теория оказала большое влияние на последующие работы, будучи использована Кунихико Кодайрой, и, позднее, многими другими.

Приложения и примеры

Когомологии де Рама

Самим Ходжем данная теория формулировалась для комплексов де Рама. Если M — компактное ориентируемое многообразие, снабжённое гладкой метрикой g, и Ω^k(M) — пучок гладких дифференциальных форм степени k на M, то комплекс де Рама — это последовательность дифференциальных операторов

$0\rightarrow \mathbb {R} {\xrightarrow {d_{-1}}}\Omega ^{0}(M){\xrightarrow {d_{0}}}\Omega ^{1}(M){\xrightarrow {d_{1}}}\cdots {\xrightarrow {d_{n-1}}}\Omega ^{n}(M){\xrightarrow {d_{n}}}0$

где d_k обозначает внешнюю производную на Ω^k(M). Тогда когомологии де Рама — это просто последовательность векторных пространств, определённых как

$H^{k}(M)={\frac {\ker d_{k}}{\mathrm {im} \,d_{k-1}}}.$

Можно определить оператор, формально сопряжённый внешней производной (внешнему дифференциалу) d, называемый кодифференциалом и обозначаемый $\delta :$ достаточно потребовать, чтобы для всех α ∈ Ω^k(M) и β ∈ Ω^k+1(M) выполнялось соотношение

$\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle _{k+1}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\,dV$

где $\langle \ ,\ \rangle _{k}$ — метрика, индуцированная на $\Omega ^{k}(M)$. Теперь лапласиан можно определить как $\Delta =d\delta +\delta d$. Это позволяет определить пространства гармонических форм:

${\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.$

Можно показать, что $d{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=0$, поэтому существует каноническое отображение $\varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\rightarrow H^{k}(M)$. Первая часть теоремы Ходжа утверждает, что $\varphi$ — это изоморфизм векторных пространств.

Одно из главных следствий этого состоит в том, что группы когомологий де Рама на компактном многообразии конечномерны. Это следует из того, что операторы $\Delta$ эллиптические, а ядро эллиптического оператора на компактном многообразии всегда конечномерно.

Структуры Ходжа

Основная статья: Структура Ходжа

Абстрактное определение (вещественных) структур Ходжа таково: для вещественного векторного пространства $W$ структура Ходжа на $W$ — это разложение его комплексификации $W^{\mathbb {C} }=W\otimes \mathbb {C}$ в $\mathbb {N}$-градуированную прямую сумму

$W^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\bigoplus _{p=0}^{k}W^{p,k-p}$

причём комплексное сопряжение на $W^{\mathbb {C} }$ переставляет градуированные слагаемые $W^{p,q}$ и $W^{q,p}$:

${\overline {W^{p,q}}}=W^{q,p}$

Основное утверждение состоит в том, что группы сингулярных когомологий с вещественными коэффициентами $H^{k}(V,\mathbb {R} )$ неособого комплексного проективного многообразия $V$ имеют такую структуру Ходжа:

$H^{k}=\oplus _{p=0}^{k}H^{p,k-p}$

где $H^{p,q}$ — группы когомологий Дольбо многообразия $V$. Отсюда следует связь между числами Бетти $b_{k}=\dim H^{k}$ и $h_{p,q}=\dim H^{p,q}$:

$b_{k}=\sum _{p=0}^{k}h_{p,k-p}$

Изначально разложение Ходжа возникло из теории гармонических форм (собственных векторов лапласиана в пространстве дифференциальных форм), обобщающих локально постоянные гармонические функции. Доказывается, что каждый класс сингулярных когомологий представим единственной гармонической формой, и что такая форма обязательно имеет корректно определённую биградуировку $(p,q)$ (относительно действия оператора комплексной структуры). Отсюда следует разложение Ходжа. В дальнейшем разложение Ходжа было получено чисто алгебраически, с помощью теории спектральных последовательностей и групп когомологий пучков $H^{q}(V,\Omega ^{p})$, в работах Дольбо.

В случае некомпактных многообразий или многообразий с особенностями необходимо заменить структуру Ходжа на смешанную структуру Ходжа, отличающуюся тем, что разложение сингулярных когомологий в прямую сумму заменяется на пару фильтраций. Этот случай используется, например, в теории монодромии.

Литература

• Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии. — ИО НФМИ, 2000. — Т. 1. — 496 с. — ISBN 5-80323-126-6.
• К. Вуазен. Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 1. — 344 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-514-6.