Туннелирование через дельтообразный потенциал

Задача о туннелировании через дельтообразный барьер — это стандартная модельная задача квантовой механики. Задача состоит в решении одномерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака.

Решение

Стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции $\psi (x)$ записывается в виде

${\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),$

где ${\hat {H}}$ — гамильтониан, $\hbar$ — постоянная Планка, $m$ — масса, $E$ — энергия частицы и $V(x)={\frac {\lambda }{m}}\delta (x)$ — дельтообразный потенциальный барьер с $\lambda >0$.

Барьер делит пространство на две части ($x<0,x>0$). В обеих этих областях решение уравнения Шрёдингера представляет собой плоские волны и может быть записано в виде их суперпозиции:

$\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0,$

$\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0,$

где $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$ — волновой вектор. Индексы $r$ и $l$ при коэффициентах $A$ и $B$ указывают на направление волнового вектора вправо и влево. Эти коэффициенты могут быть найдены из условия непрерывности волновой функции $\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)$ и условия непрерывности плотности потока вероятности при $x=0$:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi (x)\,dx,\quad \epsilon \rightarrow 0,$

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)\ \right)+{\frac {\lambda }{m}}\psi (0)=0,$

${\frac {d\psi _{L}}{dx}}(0)={\frac {d\psi _{R}}{dx}}(0)-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}(0).$

Эти условия дают следующие уравнения связи для коэффициентов $A$ и $B$:

$A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l},$

$ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\dfrac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\left(B_{r}+B_{l}\right).$

Коэффициенты прохождения и отражения

В классическом случае частица с конечной энергией $E>0$ не может преодолеть бесконечный потенциальный барьер. При квантовом подходе, однако, возможно туннелирование. Пусть падающая частица приближается к барьеру слева ($A_{r}=1$ и $B_{l}=0$), тогда коэффициенты $A_{l}=r$ и $B_{r}=t$, определяющие вероятность отражения и прохождения соответственно, имеют вид:

$t={\frac {1}{{\frac {i\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1}},$

$r={\frac {1}{{\frac {i\hbar ^{2}k}{\lambda }}-1}}.$

Неожиданным результатом с классической точки зрения является то, что имеется ненулевая вероятность прохождения (коэффициент прохождения) для бесконечно высокого барьера:

$T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}},$

$R=|r|^{2}=1-T={\frac {1}{1+{\frac {\hbar ^{4}k^{2}}{\lambda ^{2}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2}}}}}.$

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.