Туннелирование через дельтообразный потенциал

Задача о туннелировании через дельтообразный барьер — это стандартная модельная задача квантовой механики. Задача состоит в решении одномерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака.

РешениеПравить

Стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции   записывается в виде

 

где  гамильтониан,  постоянная Планка,  масса,   — энергия частицы и   — дельтообразный потенциальный барьер с  .

Барьер делит пространство на две части ( ). В обеих этих областях решение уравнения Шрёдингера представляет собой плоские волны и может быть записано в виде их суперпозиции:

 
 

где  волновой вектор. Индексы   и   при коэффициентах   и   указывают на направление волнового вектора вправо и влево. Эти коэффициенты могут быть найдены из условия непрерывности волновой функции   и условия непрерывности плотности потока вероятности при  :

 
 
 

Эти условия дают следующие уравнения связи для коэффициентов   и  :

 
 

Коэффициенты прохождения и отраженияПравить

В классическом случае частица с конечной энергией   не может преодолеть бесконечный потенциальный барьер. При квантовом подходе, однако, возможно туннелирование. Пусть падающая частица приближается к барьеру слева (  и  ), тогда коэффициенты   и  , определяющие вероятность отражения и прохождения соответственно, имеют вид:

 
 

Неожиданным результатом с классической точки зрения является то, что имеется ненулевая вероятность прохождения (коэффициент прохождения) для бесконечно высокого барьера:

 
 

ЛитератураПравить

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.