Уравнение синус-Гордона
Уравнение синус-Гордона — это нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных в 1 + 1 измерениях, включающее в себя оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Изначально оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Это уравнение привлекло много внимания в 1970-х годах из-за наличия у него солитонных решений.
Происхождение уравнения и его названия
правитьСуществует две эквивалентные формы уравнения синус-Гордона. В (вещественных) координатах пространство-время, обозначенных (x, t), уравнение имеет вид
При переходе к координатам светового конуса (u, v), близким к асимптотическим координатам, где
уравнение принимает вид
Это исходная форма уравнения синус-Гордона, в которой оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной гауссовой кривизны K = −1, также называемых псевдосферами. Выберем систему координат, в которой координатная сетка u = const, v = const задаётся асимптотическими линиями, параметризованными длиной дуги. Первая квадратичная форма данной поверхности в таких координатах примет специальный вид:
где φ — угол между асимптотическими линиями, и для второй квадратичной формы, L = N = 0. Тогда уравнение Петерсона ― Кодацци, отражающее условие совместимости между первой и второй квадратичными формами, приводит к уравнению синус-Гордона. Изучение этого уравнения и соответствующих преобразований псевдосфер в XIX веке Бьянки и Бэклундом привели к открытию преобразований Бэклунда.
Название «уравнение синус-Гордона» — каламбур на тему хорошо известного в физике уравнения Клейна — Гордона:
Уравнение синус-Гордона является уравнением Эйлера — Лагранжа для лагранжиана
Используя разложение в ряд Тейлора косинуса
в данном лагранжиане, он может быть записан как лагранжиан Клейна — Гордона плюс члены более высокого порядка
Солитоны
правитьИнтересное свойство уравнения синус-Гордона — существование солитонных и многосолитонных решений.
Односолитонное решение
правитьУравнение синус-Гордона имеет следующие односолитонные решения:
где
Односолитонное решение, для которого мы выбрали положительный корень для , называется кинк и представляет виток по переменной , который переводит одно решение в смежное . Состояния известны как вакуумные, так как они являются постоянными решениями нулевой энергии. Односолитонное решение, в котором мы взяли отрицательный корень для , называется антикинк. Форма односолитонных решений может быть получена посредством применения преобразования Бэклунда к тривиальному (постоянному вакуумному) решению и интегрированию получившихся дифференциальных уравнений первого порядка:
Односолитонные решения могут быть визуализированы посредством синус-гордоновской модели упругой ленты[1]. Примем виток упругой ленты по часовой стрелке (левовинтовой) за кинк с топологическим зарядом . Альтернативный виток против часовой стрелки (правовинтовой) с топологическим зарядом будет антикинком.
Двухсолитонные решения
правитьМногосолитонные решения могут быть получены посредством непрерывного применения преобразования Бэклунда к односолитонному решению, как предписывается решёткой Бьянки, соответствующей результатам преобразования[2]. 2-солитонные решения уравнения синус-Гордона проявляют некоторые характерные свойства солитонов. Бегущие синус-гордоновские кинки и/или антикинки проходят сквозь друг друга как полностью проницаемые, и единственный наблюдаемый эффект — фазовый сдвиг. Так как сталкивающиеся солитоны сохраняют свою скорость и форму, такой вид взаимодействия называется упругим столкновением.
Другие интересные двухсолитонные решения возникают из возможности спаренного кинк-антикинкового поведения, известного как бризер. Известно три типа бризеров: стоячий бризер, бегущий высокоамплитудный бризер и бегущий малоамплитудный бризер[3].
Трёхсолитонные решения
правитьТрёхсолитонные столкновения между бегущим кинком и стоячим бризером или бегущим антикинком и стоячим бризером приводят к фазовому сдвигу стоячего бризера. В процессе столкновения между движущимся кинком и стоячим бризером сдвиг последнего даётся соотношением
где — скорость кинка, а — частота бризера[3]. Если координата стоячего бризера до столкновения — , то после столкновения она станет .
Связанные уравнения
правитьУравнение шинус-Гордона[источник не указан 4232 дня]:
Это уравнения Эйлера — Лагранжа для лагранжиана
Другое тесно связанное с уравнением синус-Гордона — это эллиптическое уравнение синус-Гордона:
где — функция переменных x и y. Это уже не солитонное уравнение, но оно имеет много похожих свойств, так как оно связано с уравнением синус-Гордона аналитическим продолжением (или поворотом Вика) y = it.
Эллиптическое уравнение шинус-Гордона может быть определено аналогичным образом. Обобщение даётся теорией поля Тоды.
Квантовая версия
правитьВ квантовой теории поля модель синус-Гордона содержит параметр, который может быть отождествлён с постоянной Планка. Спектр частиц состоит из солитона, антисолитона и конечного (возможно, нулевого) числа бризеров. Число бризеров зависит от данного параметра. Множественные рождения частиц сокращаются на уравнениях движения.
Квазиклассическое квантование модели синус-Гордона было осуществлено Людвигом Фаддеевым и Владимиром Корепиным[4]. Точная квантовая матрица рассеяния была открыта Александром и Алексеем Замолодчиковыми[5]. Данная модель s-дуальна модели Тирринга.
В конечном объёме и на луче
правитьТакже рассматривают модель синус-Гордона на круге, отрезке прямой или луче. Возможно подобрать граничные условия, которые сохраняют интегрируемость данной модели. На луче спектр частиц содержит пограничные состояния кроме солитонов и бризеров.
Суперсимметричная модель синуса-Гордона
правитьСуперсимметричный аналог модели синус-Гордона также существует. С таким же успехом для него могут быть найдены сохраняющие интегрируемость граничные условия.
Примечания
править- ↑ Dodd R. K., Eilbeck J. C., Gibbon J. D., Morris H. C. Solitons and Nonlinear Wave Equations. Academic Press, London, 1982.
- ↑ Rogers C., Schief W. K. Bäcklund and Darboux Transformations. New York: Cambridge University Press, 2002.
- ↑ 1 2 Miroshnichenko A., Vasiliev A., Dmitriev S. Solitons and Soliton Collisions Архивная копия от 22 августа 2010 на Wayback Machine.
- ↑ Faddeev L. D., Korepin V. E. Quantum theory of solitons (англ.) // Physics Reports. — 1978. — Vol. 42, iss. 1. — P. 1—87. — doi:10.1016/0370-1573(78)90058-3.
- ↑ Zamolodchikov A. B., Zamolodchikov A. B. Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models (англ.) // Annals of Physics. — 1979-08-01. — Vol. 120, iss. 2. — P. 253—291. — doi:10.1016/0003-4916(79)90391-9.
Ссылки
править- Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2004.
- Rajaraman R. Solitons and instantons. North-Holland Personal Library, 1989.
Для улучшения этой статьи желательно:
|