Формулы Мольвейде

Формулы Мольвейде — тригонометрические зависимости, выражающие отношения между длинами сторон и значениями углов при вершинах некоторого треугольника, открытые К. Б. Моллвейде.

Треугольник на плоскости.

Описание

Формулы Мольвейде имеют следующий вид:

${\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} \;{\frac {C}{2}}}};$

${\frac {a-b}{c}}={\frac {\operatorname {sin} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {cos} \;{\frac {C}{2}}}},$

где A, B, C — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и a, b, c — длины сторон, соответственно между вершинами B и C, C и A, A и B. Формулы названы в честь немецкого математика Карла Мольвейде. Формулы Мольвейде удобно использовать при решении треугольника по двум сторонам и углу между ними и по двум углам и прилежащей к ним стороне. Аналогичные соотношения в сферической тригонометрии носят название формул Деламбра.

Доказательство

Рассмотрим вывод только первого соотношения, поскольку доказательство второго аналогично.

${\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} \;{\frac {A-B}{2}}}{\operatorname {sin} \;{\frac {C}{2}}}};$

Из теоремы синусов:

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}$

имеем:

${\frac {a}{c}}={\frac {\sin A}{\sin C}}$

${\frac {b}{c}}={\frac {\sin B}{\sin C}}$

откуда следует:

${\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}$

С учетом формулы двойного угла для синуса:

$\sin C=2\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}$,

а также формулы для суммы синусов:

$\sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}$

имеем:

${\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}={\frac {\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}}$

По теореме о сумме углов треугольника:

$C=\pi -(A+B)$

откуда с учётом формулы приведения для косинуса следует, что:

$\cos {\frac {C}{2}}=\cos {\frac {\pi -(A+B)}{2}}=\sin {\frac {A+B}{2}}$

как следствие имеем:

${\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {A-B}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}}$

что и требовалось доказать.

Применение

Поделив отдельно правые и левые части последних формул, сразу получим теорему тангенсов

См. также

• Решение треугольников
• Тригонометрия
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции

Литература

• О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин. Толковый словарь математических терминов, М.: Просвещение, 1965.