Открыть главное меню

Теорема тангенсов[1] — теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.

Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или, наоборот, два угла и одна сторона.

Содержание

ИсторияПравить

Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201—1274), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.[2][3]

Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна (или Йоганна) Мюллера (лат. Regiomontanus), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.[4]

ФормулировкаПравить

 
Рис. 1. Треугольник

На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Теорема тангенсов утверждает, что

 

ДоказательствоПравить

Доказать теорему тангенсов можно с помощью теоремы синусов:

 

Пусть

 

откуда

 
 

Отсюда следует, что

 

Используя известное тригонометрическое тождество

 

получаем:

 

Вместо формулы для суммы и разности синусов двух углов, в доказательстве можно использовать следующее известное тождество

 .

Другое доказательство с использованием формул МольвейдеПравить

 
 

где   — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и   — длины сторон соответственно между вершинами  и  ,  и  ,  и  .

  • Деля порознь правые и левые части двух последних равенств и приравнивая два полученных результата друг другу, имеем
 
  • С учетом того, что  , окончательно имеем:
 

что и требовалось доказать.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Eli Maor. Trigonometric Delights // Princeton University Press, 2002.
  2. Marie-Thérèse Debarnot. Trigonometry // Encyclopedia of the history of Arabic science, volume 2 / Rushdī Rāshid, Régis Morelon. — Routledge, 1996. — P. 182. — ISBN 0415124115.
  3. Q. Mushtaq, J. L. Berggren. Trigonometry // History of Civilizations of Central Asia, volume 4, rart 2 / Bosworth C. E., Asimov M. S.. — Motilal Banarsidass Publ., 2002. — P. 190. — ISBN 8120815963.
  4. О. В. Мантуров. Толковый словарь математических терминов