Функция Радемахера

Функция Радемахера — кусочно-постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей области определения. Введены Гансом Радемахером в 1922 году. График функции представляет собой меандр.

Графики функций Радемахера с $\nu =1,2,3$

Функция Радемахера может быть выражена следующим образом:

$\operatorname {rad} _{n}(x)=\operatorname {sign} \left(\sin \left(2^{n}\pi x\right)\right)$

Система функций Радемахера является ортонормированной в пространстве $L^{2}[0,1]$, поскольку:

$\int _{0}^{1}\operatorname {rad} _{n}(x)\cdot \operatorname {rad} _{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{mn}$,

где $\delta _{mn}$ — символ Кронекера.

Система функций Радемахера является неполной. На их основе можно построить функции Уолша:

$\operatorname {wal} _{\nu }(x)=\operatorname {rad} _{\operatorname {lb} \nu }(x)$,

где $\operatorname {lb} \nu =\log _{2}\nu$ — двоичный логарифм.

Функцию Радемахера можно задать через функцию Хаара $\psi (x)$:

$\operatorname {rad} _{\nu }(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\psi (2^{\nu }x+k)$

Ссылки

• Square Wave в WolframMathWorld
• Rademacher system — статья из Encyclopedia of mathematics