Хроматический многочлен

Хроматический многочлен — многочлен, изучаемый в алгебраической теории графов, представляющий число раскрасок графа как функцию от числа цветов. Первоначально определён Джорджем Биркгофов для попытки решения на проблемы четырёх красок. Обобщен и систематически изучен Хасслером Уитни, Татт обобщил хроматический многочлен до многочлена Татта, связав его с моделью Поттса[en] статистической физики.

Все неизоморфные графы с 3 вершинами и их хроматические многочлены, по часовой стрелке сверху.
Независимое 3-множество: .
Ребро и одна вершина: .
3-путь: .
3-клика: .

ИсторияПравить

Джордж Биркгоф ввёл хроматический многочлен в 1912 году, определяя его только для планарных графов в попытке доказать теорему о четырёх красках. Если   обозначает число правильных раскрасок графа G k цветами, то можно было бы доказать теорему о четырёх красках, показав, что   для всех планарных графов G. Таким образом он надеялся использовать мощь математического анализа и алгебры для изучения корней многочленов для изучения комбинаторной задачи раскраски.

Хасслер Уитни обобщил многочлен Биркгофа с планарного случая на графы общего вида в 1932. В 1968 году Рид поднял вопрос: какие многочлены являются хроматическими многочленами для некоторых графов (задача остаётся открытой), и ввёл понятие хроматически эквивалентных графов. В настоящее время хроматические многочлены являются центральными объектами алгебраической теории графов[1].

ОпределениеПравить

 
Все правильные раскраски графов с 3 вершинами при использовании kцветов ( ). Хроматический многочлен каждого графа интерполирует число правильных раскрасок.

Хроматический многочлен графа G считает число правильных раскрасок вершин. Обычно многочлен обозначается как  ,  ,   или  . Последнее обозначение будем использовать в остальной части статьи.

Например, путь   с 3 вершинами не может быть раскрашен в 0 цветов или 1 цветом. Используя 2 цвета граф можно раскрасить двумя способами. Используя 3 цвета граф можно раскрасить 12 способами.

Доступно цветов   0 1 2 3
Число раскрасок   0 0 2 12

Для графа G с n вершинами хроматический многочлен определяется как уникальный интерполирующий многочлен степени, не превосходящей n, проходящий через точки

 

Если граф G не содержит вершин с петлями, то хроматический многочлен является приведённым многочленом степени в точности n. Фактически, для приведённого выше примера мы имеем

 

Хроматический многочлен включает включает по меньшей мере столько информации о раскрашиваемости графа G, сколько содержится в хроматическом числе. Более того, хроматическое число является наименьшим положительным целым, при котором хроматический многочлен не обращается в нуль,

 

ПримерыПравить

Хроматические многочлены для некоторых графов
Треугольник    
Полный граф    
Путь    
Любое дерево с n вершинами  
Цикл    
Граф Петерсена  

СвойстваПравить

Для фиксированного графа G с n вершинами хроматический многочлен   является, фактически, многочленом степени n. По определению, вычисление значения многочлена   даёт число k-раскрасок графа G для  . То же самое верно для k > n.

Выражение

 

даёт число ациклических ориентаций графа G[2].

Значение производной от многочлена в точке 1,   равно с точностью до знака хроматическому инварианту  .

Если граф G имеет n вершин, m рёбер и c компонент  , то

  • Коэффициенты при   равны нулю.
  • Коэффициенты при   все ненулевые.
  • Коэффициент при   в   равен 1.
  • Коэффициент при   в   равен  .
  • Коэффициенты любого хроматического многочлена знакопеременны.
  • Абсолютные значения коэффициентов любого хроматического многочлена образует логарифмически вогнутую последовательность[en][3].
  •  

Граф G с n вершинами является деревом тогда и только тогда, когда

 

Хроматическая эквивалентностьПравить

 
Три графа с хроматическим многочленом, равным  .

Говорят, что два графа хроматически эквивалентны, если они имеют одинаковые хроматические многочлены. Изоморфные графы имеют одинаковые хроматические многочлены, но неизоморфные графы могут быть хроматически эквивалентными. Например, все деревья с n вершинами имеют одинаковые хроматические многочлены:

 

В частности,

 

является хроматическим многочленом как для клешни, так и для пути с 4 вершинами.

Хроматическая единственностьПравить

Граф является хроматически уникальным, если он определяется хроматическим многочленом с точностью до изоморфизма. Другими словами, если граф G хроматически уникален, то из   следует, что G и H изоморфны.

Все циклы хроматически уникальны[4].

Хроматические корниПравить

Корень (или нуль) хроматического многочлена (называется «хроматическим корнем») — это значение x, для которого  . Хроматические корни хорошо изучены. Фактически, исходным побуждением Биркгофа для введения хроматического многочлена было показать, что для планарных графов   для x ≥ 4. Это доказало бы теорему о четырёх красках.

Никакой граф нельзя раскрасить в 0 цветов, так что 0 всегда является хроматическим корнем. Только графы без рёбер могут быть раскрашены в один цвет, так что 1 является хроматическим корнем любого графа, имеющего по меньшей мере одно ребро. С другой стороны, за исключением этих двух случаев, никакой граф не может иметь в качестве хроматического корня вещественное число, меньшее либо равное 32/27[5]. Результат Татта связывает золотое сечение   с изучением хроматических корней, показывая, что хроматические корни существуют очень близко к   — если   является планарной триангуляцией сферы, то

 

В то время как вещественная прямая, таким образом, имеет большие куски, которые не содержат хроматических корней ни для какого графа, любая точка на комплексной плоскости произвольно близка к хроматическому корню в том смысле, что существует бесконечное семейство графов, хроматические корни которых плотны на комплексной плоскости[6].

КатегоризацияПравить

Хроматический многочлен категоризирован с помощью теории гомологий, близко связанной с гомологией Хованова[en][7].

АлгоритмыПравить

Хроматический многочлен
Вход Граф G с n вершинами.
Выход Коэффициенты  
Время работы   для некоторой константы  
Сложность #P-трудна
Сводится из #3SAT
#k-раскраски
Вход Граф G с n вершинами.
Выход  
Время работы

Принадлежит P для  .   для  . В противном члучае

  for some constant  
Complexity #P-hard unless  
Approximability No FPRAS for  

Вычислительные задачи, связанные с хроматическими многочленами

  • нахождение хроматического многочлена   для данного графа G;
  • вычисление   в фиксированной точке k для данного графа G.

Первая задача более общая, поскольку, зная коэффициенты  , мы можем вычислить значение многочлена в любой точке за полиномиальное время. Вычислительная сложность второй задачи сильно зависит от величины k. Когда k является натуральным числом, задачу можно рассматривать как вычисление количества k-раскрасок данного графа. Например, задача включает подсчёт 3-раскрасок в качестве канонической задачи для изучения сложности подсчёта. Эта задача является полной в классе #P.

Эффективные алгоритмыПравить

Для некоторых базовых классов графов известны явные формулы хроматических многочленов. Например, это верно для деревьев и клик, что показано в таблице выше.

Известны алгоритмы полиномиального времени для вычисления хроматического многочлена для широкого класса графов, в который входят хордальные графы[8] и графы с ограниченной кликовой шириной[9][10]. Второй из этих классов, в свою очередь, включает кографы и графы с ограниченной древесной шириной, такие как внешнепланарные графы.

В интернете присутствуют лица, пытающиеся решить задачу коллективно, и им помогают активные автономные помощники, особенно для хроматических многочленов высокой степени[11].

Удаление — стягиваниеПравить

Рекурсивный способ вычисления хроматического многочлена базируется на стягивании ребра — для пары вершин   и   граф   получается путём слияния двух вершин и удаления ребра между ними. Хроматический многочлен удовлетворяет рекурсивному соотношению

 ,

где   и   являются смежными вершинами и   является графом с удалённым ребром  . Эквивалентно,

 

если   и   не смежны и   является графом с добавленным ребром  . В первой форме рекурсия прекращается на наборе пустых графов. Эти рекуррентные отношения называются также фундаментальной теоремой редукции[12]. Вопрос Татта о том, какие другие свойства графа удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, привёл к открытию обобщения хроматического многочлена на две переменные — многочлену Татта.

Выражения дают рекурсивную процедуру, называемую алгоритмом удаления — стягивания, которая является базисом многих алгоритмов раскраски графов. Функция ChromaticPolynomial в системе компьютерной алгебры Mathematica использует вторую рекуррентную формулу если граф плотный, и первую, если граф разреженный[13]. Худшее время работы для обоих формул удовлетворяет рекуррентному соотношению для чисел Фибоначчи, так что в худшем случае алгоритм работает за время (с точностью до некоторого полиномиального коэффициента)

 

на графе с n вершинами и m рёбрами[14]. Анализ времени работы можно улучшить до полиномиального множителя числа   остовных деревьев входного графа[15]. На практике используется стратегия ветвей и границ вместе с отбрасыванием изоморфных графов, чтобы исключить рекурсивные вызовы, и время зависит от эвристики, используемой при выборе пары вершин (для исключения-стягивания).

Метод кубаПравить

Существует естественный геометрический подход к раскраске графов, если заметить, что при назначении натуральных чисел каждой вершине раскраска графов является вектором целочисленной решётки. Поскольку присвоение двум вершинам   и   одного цвета эквивалентно равенству координат   и   в векторе раскраски, каждое ребро можно ассоциировать с гиперплоскостью вида  . Набор таких гиперплоскостей для данного графа называется его графической конфигурацией гиперплоскостей[en]. Правильная раскраска графа — это раскраска, вектор которой не оказывается на запрещённой плоскости. Ограниченные множеством цветов  , точки решётки попадают в куб  . В этом контексте хроматический многочлен подсчитывает точки решётки в  -кубе, которые не попадают на графическую конфигурацию.

Вычислительная сложностьПравить

Задача вычисления числа 3-раскрасок данного графа является каноническим примером #P-полной задачи, так что задача вычисления коэффициентов хроматического многочлена #P-трудна. Аналогично, вычисление   для данного графа G #P-полна. С другой стороны, для   легко вычислить  , так что соответствующие задачи имеют полиномиальную по времени трудность. Для целых чисел   задача #P-трудна, что устанавливается подобно случаю  . Фактически, известно, что   #P-трудна для всех x (включая отрицательные целые числа и даже все комплексные числа), за исключением трёх «простых точек»[16]. Таким образом, сложность вычисления хроматического многочлена полностью понятна.

В многочлене

 

коэффициент   всегда равен 1, а также известны некоторые другие свойства коэффициентов. Это поднимает вопрос, нельзя ли вычислить некоторые коэффициенты попроще. Однако задача вычисления ar для фиксированного r и данного графа G является #P-трудной[17].

Не известно никакого аппроксимационного алгоритма вычисления   для любого x, за исключением трёх простых точек. В целых точках   соответствующая задача разрешимости определения, может ли данный граф быть раскрашен в k цветов, NP-трудна. Такие задачи не могут быть аппроскимированы с любым коэффициентом с помощью полиномиального вероятностного алгоритма с ограниченной ошибкой, разве только NP = RP, поскольку любая мультипликативная аппроксимация различала бы значения 0 и 1, что было бы эффективным решением задачи с помощью полиномиального вероятностного алгоритма с ограниченной ошибкой в форме задачи разрешимости. В частности, при некоторых предположениях, это исключает возможность полностью полиномиальной рандомизированной аппроксимационной схемы (FPRAS). Для других точек нужны более сложные рассуждения и вопрос находится в фокусе активных поисков. На 2008 известно, что не существует FPRAS-схемы для вычиcления   для любого x > 2, разве только NP = RP[18].

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • А. Ю. Эвнин. Хроматический многочлен графа в задачах (рус.) // Математическое образование. — 2014. — № 4(72). — С. 9—15.
  • Biggs N. Algebraic Graph Theory. — Cambridge University Press, 1993. — ISBN 0-521-45897-8.
  • Hirokazu Shirado, Nicholas A. Christakis. Locally noisy autonomous agents improve global human coordination in network experiments // Nature. — 2017. — Т. 545, вып. 7654. — С. 370–374. — doi:10.1038/nature22332.
  • Chao C.-Y., Whitehead E. G. On chromatic equivalence of graphs // Theory and Applications of Graphs. — Springer, 1978. — Т. 642. — С. 121–131. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 978-3-540-08666-6.
  • Dong F. M., Koh K. M., Teo K. L. Chromatic polynomials and chromaticity of graphs. — World Scientific Publishing Company, 2005. — ISBN 981-256-317-2.
  • Giménez O., Hliněný P., Noy M. Computing the Tutte polynomial on graphs of bounded clique-width // Proc. 31st Int. Worksh. Graph-Theoretic Concepts in Computer Science (WG 2005). — Springer-Verlag, 2005. — Т. 3787. — С. 59–68. — doi:10.1007/11604686_6.
  • Goldberg L.A., Jerrum M. Inapproximability of the Tutte polynomial // Information and Computation. — 2008. — Т. 206, вып. 7. — С. 908. — doi:10.1016/j.ic.2008.04.003.
  • Laure Helme-Guizon, Yongwu Rong. A categorification of the chromatic polynomial // Algebraic & Geometric Topology. — 2005. — Т. 5, вып. 4. — С. 1365–1388. — doi:10.2140/agt.2005.5.1365.
  • Huh J. Milnor numbers of projective hypersurfaces and the chromatic polynomial of graphs. — arXiv:1008.4749v3, 2012.
  • Jackson B. A Zero-Free Interval for Chromatic Polynomials of Graphs // Combinatorics, Probability and Computing. — 1993. — Т. 2. — С. 325–336. — doi:10.1017/S0963548300000705.
  • Jaeger F., Vertigan D. L., Welsh D. J. A. On the computational complexity of the Jones and Tutte polynomials // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1990. — Т. 108. — С. 35–53. — doi:10.1017/S0305004100068936.
  • Linial N. Hard enumeration problems in geometry and combinatorics // SIAM J. Algebraic Discrete Methods. — 1986. — Т. 7, вып. 2. — С. 331–335. — doi:10.1137/0607036.
  • Makowsky J. A., Rotics U., Averbouch I., Godlin B. Computing graph polynomials on graphs of bounded clique-width // Proc. 32nd Int. Worksh. Graph-Theoretic Concepts in Computer Science (WG 2006). — Springer-Verlag, 2006. — Т. 4271. — С. 191–204. — (Lecture Notes in Computer Science). — doi:10.1007/11917496_18.
  • Naor J., Naor M., Schaffer A. Fast parallel algorithms for chordal graphs // Proc. 19th ACM Symp. Theory of Computing (STOC '87). — 1987. — С. 355–364. — doi:10.1145/28395.28433.
  • Oxley J. G., Welsh D. J. A. Chromatic, flow and reliability polynomials: The complexity of their coefficients. // Combinatorics, Probability and Computing. — 2002. — Т. 11, вып. 4. — С. 403–426.
  • Pemmaraju S., Skiena S. section 7.4.2 // Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. — Cambridge University Press, 2003. — ISBN 0-521-80686-0.
  • Sekine K., Imai H., Tani S. Computing the Tutte polynomial of a graph of moderate size // Algorithms and Computation, 6th International Symposium, Lecture Notes in Computer Science 1004. — Cairns, Australia, December 4–6, 1995: Springer, 1995. — С. 224–233.
  • Sokal A. D. Chromatic Roots are Dense in the Whole Complex Plane // Combinatorics, Probability and Computing. — 2004. — Т. 13, вып. 2. — С. 221–261. — doi:10.1017/S0963548303006023.
  • Stanley R. P. Acyclic orientations of graphs // Disc. Math.. — 1973. — Т. 5, вып. 2. — С. 171–178. — doi:10.1016/0012-365X(73)90108-8.
  • Vitaly I. Voloshin. Coloring Mixed Hypergraphs: Theory, Algorithms and Applications.. — American Mathematical Society, 2002. — ISBN 0-8218-2812-6.
  • Wilf H. S. Algorithms and Complexity. — Prentice–Hall, 1986. — ISBN 0-13-021973-8.

СсылкиПравить