Сферический сегмент

(перенаправлено с «Шаровой сегмент»)

Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом[1]. Если плоскость проходит через центр сферы, так что высота обоих сегментов равна радиусу сферы, то такие сферические сегменты называют полусферой.

Пример сферического сегмента (окрашен синим цветом). Вторая половина сферы также представляет собой сферический сегмент.

Шарово́й сегме́нт — геометрическое тело, ограниченное сферическим сегментом и совпадающим с ним границей кругом-основанием.

Объём и площадь поверхностиПравить

Если радиус основания сегмента равен  , высота сегмента равна  , тогда объём шарового сегмента равен [2]

 ,

площадь поверхности сегмента равна

 

или

 .

Параметры  ,   и   связаны соотношениями

 ,
 .

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

 .

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке)  , в нижней части сферы  , следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение   и можно привести другое выражение для объёма:

 .

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

 .

ПрименениеПравить

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сферПравить

Объём объединения двух сфер радиусов r1 и r2 равен [3]

 ,

где

 

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

 

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r1 + r2 — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h1 и h2 приводит к выражению [4][5]

  .

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широтПравить

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ1 и φ2 данная площадь равна [6]

 .

Площадь квадратного участка поверхности шараПравить

 .

(Например для вычисления площади участка поверхности Земли со сторонами равными 1 градусу: A = 8 * 6378km  (1-cos(0,5))= 12391 км , 1 секунда поверхности Земли = 956м )

ОбобщенияПравить

Сечения других телПравить

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Сегмент гиперсферыПравить

Объём  -мерного сегмента гиперсферы высотой   и радиуса   в  -мерном евклидовом пространстве определяется по формуле [7]

 

где   (гамма-функция) задается выражением  .

Выражение для объёма   можно переписать в терминах объёма единичного  -мерного шара   и гипергеометрической функции   или регуляризованной неполной бета-функции   как

 .

Формула для площади поверхности   может быть записана в терминах площади поверхности единичного  -мерного шара   как

 ,

где  .

Также справедливы следующие формулы[8]:  , где  ,

 .

При  

 .

Было показано[9], что при   и    , где  стандартное нормальное распределение.

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 519-520.
  2. Polyanin, Andrei D & Manzhirov, Alexander V. (2006), Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists, CRC Press, с. 69, ISBN 9781584885023, <https://books.google.com/books?id=ge6nk9W0BCcC&pg=PA69> .
  3. Connolly, Michael L. Computation of molecular volume (англ.) // J. Am. Chem. Soc (англ.) : journal. — 1985. — Vol. 107. — P. 1118—1124. — doi:10.1021/ja00291a006.
  4. Pavani, R.; Ranghino, G. A method to compute the volume of a molecule (неопр.) // Comput. Chem.. — 1982. — Т. 6. — С. 133—135. — doi:10.1016/0097-8485(82)80006-5.
  5. Bondi, A. Van der Waals volumes and radii (англ.) // J. Phys. Chem. (англ.) : journal. — 1964. — Vol. 68. — P. 441—451. — doi:10.1021/j100785a001.
  6. Scott E. Donaldson, Stanley G. Siegel. Successful Software Development. Дата обращения 29 августа 2016.
  7. Li, S. Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap (англ.) // Asian J. Math. Stat. : journal. — 2011. — Vol. 4, no. 1. — P. 66—70. — doi:10.3923/ajms.2011.66.70.
  8. Chudnov, Alexander M. On minimax signal generation and reception algorithms (rus.) (англ.) // Problems of Information Transmission : journal. — 1986. — Vol. 22. — P. 49—54.
  9. Chudnov, Alexander M. Game-theoretical problems of synthesis of signal generation and reception algorithms (rus.) (англ.) // Problems of Information Transmission : journal. — 1991. — Vol. 27. — P. 57—65.