Основные формулы
править
Декартовы координаты
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
(
λ
,
μ
,
ν
)
{\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
x
2
=
(
a
2
+
λ
)
(
a
2
+
μ
)
(
a
2
+
ν
)
(
a
2
−
b
2
)
(
a
2
−
c
2
)
,
{\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}},}
y
2
=
(
b
2
+
λ
)
(
b
2
+
μ
)
(
b
2
+
ν
)
(
b
2
−
a
2
)
(
b
2
−
c
2
)
,
{\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}},}
z
2
=
(
c
2
+
λ
)
(
c
2
+
μ
)
(
c
2
+
ν
)
(
c
2
−
b
2
)
(
c
2
−
a
2
)
,
{\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}},}
при этом на координаты накладываются ограничения
−
λ
<
c
2
<
−
μ
<
b
2
<
−
ν
<
a
2
.
{\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}
Поверхности с постоянной
λ
{\displaystyle \lambda }
эллипсоидами :
x
2
a
2
+
λ
+
y
2
b
2
+
λ
+
z
2
c
2
+
λ
=
1
,
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,}
Поверхности с постоянной
μ
{\displaystyle \mu }
гиперболоидами
x
2
a
2
+
μ
+
y
2
b
2
+
μ
+
z
2
c
2
+
μ
=
1
,
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,}
поскольку последнее слагаемое отрицательно, а поверхности с постоянной
ν
{\displaystyle \nu }
x
2
a
2
+
ν
+
y
2
b
2
+
ν
+
z
2
c
2
+
ν
=
1
,
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1,}
поскольку два последних слагаемых отрицательны.
При построении эллипсоидальных координат используются софокусные поверхности второго порядка.
Масштабные множители и дифференциальные операторы
править
Для краткости в уравнениях ниже введём функцию
S
(
σ
)
=
d
e
f
(
a
2
+
σ
)
(
b
2
+
σ
)
(
c
2
+
σ
)
,
{\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right),}
где
σ
{\displaystyle \sigma }
(
λ
,
μ
,
ν
)
{\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
h
λ
=
1
2
(
λ
−
μ
)
(
λ
−
ν
)
S
(
λ
)
,
{\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}},}
h
μ
=
1
2
(
μ
−
λ
)
(
μ
−
ν
)
S
(
μ
)
,
{\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}},}
h
ν
=
1
2
(
ν
−
λ
)
(
ν
−
μ
)
S
(
ν
)
.
{\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}.}
Следовательно бесконечно малый элементарный объём запишется в виде
d
V
=
(
λ
−
μ
)
(
λ
−
ν
)
(
μ
−
ν
)
8
−
S
(
λ
)
S
(
μ
)
S
(
ν
)
d
λ
d
μ
d
ν
,
{\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\ d\lambda d\mu d\nu ,}
а лапласиан имеет вид
∇
2
Φ
=
4
S
(
λ
)
(
λ
−
μ
)
(
λ
−
ν
)
∂
∂
λ
[
S
(
λ
)
∂
Φ
∂
λ
]
+
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\ +}
+
4
S
(
μ
)
(
μ
−
λ
)
(
μ
−
ν
)
∂
∂
μ
[
S
(
μ
)
∂
Φ
∂
μ
]
+
4
S
(
ν
)
(
ν
−
λ
)
(
ν
−
μ
)
∂
∂
ν
[
S
(
ν
)
∂
Φ
∂
ν
]
.
{\displaystyle +{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\ +\ {\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right].}
Другие дифференциальные операторы, такие как
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
(
λ
,
μ
,
ν
)
{\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
Фокалоид (оболочка, заданная двумя координатными поверхностями)
Morse P. M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I (неопр.) . — New York: McGraw-Hill Education , 1953. — С. 663.Zwillinger D. Handbook of Integration (неопр.) . — Boston, MA: Jones and Bartlett (англ.) ( рус. , 1992. — С. 114. — ISBN 0-86720-293-9 .Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (неопр.) . — New York: Springer Verlag , 1967. — С. 101—102.Korn G. A., Korn T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (англ.) . — New York: McGraw-Hill Education , 1961. — P. 176.Margenau H., Murphy G. M. The Mathematics of Physics and Chemistry (неопр.) . — New York: D. van Nostrand, 1956. — С. 178 —180.Moon P. H., Spencer D. E. Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ) // Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (англ.) . — corrected 2nd, 3rd print. — New York: Springer Verlag , 1988. — P. 40—44 (Table 1.10). — ISBN 0-387-02732-7 . 
![{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\ +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c86d9fdbebb4d9389a534c1850cafb607cb1fe)
![{\displaystyle +{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\ +\ {\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855d59493a873a501a3513dd9d43e9c12dbaa0ac)
