Эллиптические координаты
(
μ
,
ν
)
{\displaystyle (\mu ,\;\nu )}
{
x
=
c
c
h
μ
cos
ν
y
=
c
s
h
μ
sin
ν
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=c\,\mathrm {ch} \,\mu \cos \nu \\y=c\,\mathrm {sh} \,\mu \sin \nu \end{matrix}}\right.}
где
μ
⩾
0
{\displaystyle \mu \geqslant 0}
ν
∈
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle \nu \in [0,\;2\pi )}
Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество
x
2
c
2
c
h
2
μ
+
y
2
c
2
s
h
2
μ
=
cos
2
ν
+
sin
2
ν
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}\,\mathrm {ch} ^{2}\,\mu }}+{\frac {y^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
показывает, что линии уровня
μ
{\displaystyle \mu }
эллипсами , а тождество из гиперболической геометрии
x
2
c
2
cos
2
ν
−
y
2
c
2
sin
2
ν
=
c
h
2
μ
−
s
h
2
μ
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{c^{2}\sin ^{2}\nu }}=\mathrm {ch} ^{2}\,\mu -\mathrm {sh} ^{2}\,\mu =1}
показывает, что линии уровня
ν
{\displaystyle \nu }
гиперболами .
Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат
(
μ
,
ν
)
{\displaystyle (\mu ,\;\nu )}
H
μ
=
H
ν
=
c
(
c
h
μ
sin
ν
)
2
+
(
s
h
μ
cos
ν
)
2
=
c
s
h
2
μ
+
sin
2
ν
.
{\displaystyle H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {(\mathrm {ch} \,\mu \,\sin \,\nu )^{2}+(\mathrm {sh} \,\mu \,\cos \,\nu )^{2}}}=c{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }}.}
Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду
H
μ
=
H
ν
=
c
1
2
(
c
h
2
μ
−
cos
2
ν
)
.
{\displaystyle H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }}).}
Элемент площади равен:
d
S
=
c
2
(
s
h
2
μ
+
sin
2
ν
)
d
μ
d
ν
,
{\displaystyle dS=c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu ,}
а лапласиан равен
∇
2
Φ
=
1
c
2
(
s
h
2
μ
+
sin
2
ν
)
(
∂
2
Φ
∂
μ
2
+
∂
2
Φ
∂
ν
2
)
.
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right).}
Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.
Например, градиент скалярного поля
Φ
(
μ
,
ν
)
{\displaystyle \Phi (\mu ,\;\nu )}
g
r
a
d
Φ
=
1
H
μ
∂
Φ
∂
μ
e
μ
+
1
H
ν
∂
Φ
∂
ν
e
ν
,
{\displaystyle \mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {1}{H_{\mu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\mathbf {e} _{\mu }+{\frac {1}{H_{\nu }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\mathbf {e} _{\nu },}
где
e
μ
=
c
(
s
h
μ
cos
ν
,
c
h
μ
sin
ν
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }=c(\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu ,\,\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu )}
e
ν
=
c
(
−
c
h
μ
sin
ν
,
s
h
μ
cos
ν
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{\nu }=c(-\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu ,\,\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu )}
это не орты как же я из-за вас ошибся пишите будто это орт
Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат
(
σ
,
τ
)
{\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}
{
σ
=
c
h
μ
τ
=
cos
ν
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sigma =\mathrm {ch} \,\mu \\\tau =\cos \nu \end{matrix}}\right.}
Таким образом, линии уровня
σ
{\displaystyle \sigma }
τ
{\displaystyle \tau }
τ
∈
[
−
1
,
1
]
,
σ
⩾
1.
{\displaystyle \tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.}
Координаты
(
σ
,
τ
)
{\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}
F
1
{\displaystyle F_{1}}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
{
d
1
+
d
2
=
2
c
σ
d
1
−
d
2
=
2
c
τ
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}d_{1}+d_{2}=2c\sigma \\d_{1}-d_{2}=2c\tau \end{matrix}}\right.}
где
d
1
,
d
2
{\displaystyle d_{1},\;d_{2}}
F
1
,
F
2
{\displaystyle F_{1},\;F_{2}}
Таким образом:
{
d
1
=
c
(
σ
+
τ
)
d
2
=
c
(
σ
−
τ
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}d_{1}=c(\sigma +\tau )\\d_{2}=c(\sigma -\tau )\end{matrix}}\right.}
Напомним, что
F
1
{\displaystyle F_{1}}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
x
=
−
c
{\displaystyle x=-c}
x
=
+
c
{\displaystyle x=+c}
Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:
{
x
=
c
σ
τ
y
2
=
c
2
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=c\sigma \tau \\y^{2}=c^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})\end{matrix}}\right.}
Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат
(
σ
,
τ
)
{\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}
h
σ
=
c
σ
2
−
τ
2
σ
2
−
1
;
{\displaystyle h_{\sigma }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}};}
h
τ
=
c
σ
2
−
τ
2
1
−
τ
2
.
{\displaystyle h_{\tau }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.}
Элемент площади равен
d
A
=
c
2
σ
2
−
τ
2
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
d
σ
d
τ
,
{\displaystyle dA=c^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}}\,d\sigma \,d\tau ,}
а лапласиан равен
∇
2
Φ
=
1
c
2
(
σ
2
−
τ
2
)
[
σ
2
−
1
∂
∂
σ
(
σ
2
−
1
∂
Φ
∂
σ
)
+
1
−
τ
2
∂
∂
τ
(
1
−
τ
2
∂
Φ
∂
τ
)
]
.
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].}
Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М. : Наука, 1974. — 832 с. 
![{\displaystyle \tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c29c2f70196550e8dc04515379681480b90641)
![{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d84500eeb62f5671d6f370a0e4f5c16fa47831)