K-пространство (топология)

k-пространство (компактно порождённое пространство) — топологическое пространство, в котором замкнуты все множества, пересечение которых с каждым компактным подмножеством этого пространства замкнуто. Часто к этому добавляют требование хаусдорфовости пространства.

Определение

Топологическое пространство $X$ называют k-пространством, если его топология согласована с семейством всех его компактных подпространств, то есть если в нём для каждого подмножества $A\subset X$ выполнено одно из следующих эквивалентных условий:

Множество $A$ замкнуто в $X$ тогда и только тогда, когда всякое его пересечение $A\cap K$ с каждым компактным множеством $K\subset X$ замкнуто в этом множестве $K$ .
Множество $A$ открыто в $X$ тогда и только тогда, когда всякое его пересечение $A\cap K$ с каждым компактным множеством $K\subset X$ открыто в этом множестве $K$ .

Часто под k-пространством понимают только хаусдорфовы пространства, удовлетворяющие вышеуказанному определению.

Для хаусдорфовых пространств можно дать следующее эквивалентное определение k-пространства: хаусдорфово пространство $X$ является k-пространством, в том и только в том случае, если оно есть образ некоторого локально компактного хаусдорфова пространства при факторном отображении (то есть оно гомеоморфно некоторому факторпространству локально компактного хаусдорфова пространства).

Отображения в k-пространствах

Отображение $f\colon X\to Y$ k-пространства $X$ в произвольное топологическое пространство $Y$ непрерывно в том и только в том случае, если всякое сужение этого отображения $f|_{K}$ на компактное множество $K$ непрерывно.

Непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ произвольного топологического пространство $X$ в k-пространство $Y$ замкнуто (открыто, факторно) в том и только в том случае, если для каждого компактного подмножества $K$ из области значений $Y$ сужение этого отображения $f_{K}\colon f^{-1}(K)\to K$ замкнуто (соответственно открыто, факторно).

Если даны два факторных отображения $f_{1}\colon X_{1}\to Y_{1}$ и $f_{2}\colon X_{2}\to Y_{2}$ , у которых области определения $X_{1}$ и $X_{2}$ и произведение областей значений $Y_{1}\times Y_{2}$ являются k-пространствами, то декартово произведение этих отображений $f_{1}\times f_{2}\colon X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}$ является факторным отображением.

Сохранение при операциях

Каждое открытое, а также каждое замкнутое подпространство хаусдорфова k-пространства является k-пространством. Однако произвольное подпространство хаусдорфова k-пространства может не быть k-пространством.

Сумма семейства топологических пространств является k-пространством тогда и только тогда, когда все пространства из этого семейства являются k-пространствами.

Произведение хаусдорфова k-пространства и локально компактного хаусдорфова пространства является k-пространством. При этом произведение двух k-пространств в общем случае не является k-пространством.

Хаусдорфов образ хаусдорфова k-пространства при факторном (в частности, при открытом или замкнутом) отображении является k-пространством. При этом образ хаусдорфова k-пространства при произвольном непрерывном отображении может не быть k-пространством, даже если он совершенно нормален.

Связь с другими классами пространств

Всякое полное по Чеху пространство (в частности любое локально компактное хаусдорфово пространство, а следовательно и любое топологическое многообразие) является k-пространством.

Каждое секвенциальное пространство (в частности любое пространство с первой аксиомой счётности, а следовательно и любое метрическое пространство) является k-пространством.

Всякое пространство точечно счётного типа является k-пространством.

Каждый CW-комплекс является k-пространством.

Литература

Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
Спеньер, Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — 680 с.