Z-тест

Z-тест (z-критерий Фишера) — класс методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на нормальном распределении. Обычно применяется для проверки равенства средних значений при известной дисперсии генеральной совокупности или при оценке выборочного среднего стандартизованных значений. Z-статистика вычисляется как отношение разницы между случайной величиной и математическим ожиданием к стандартной ошибке этой случайной величины:

$z={\frac {{\overline {X}}-\,m}{\mathrm {SE} }}$

где ${\overline {X}}$ — случайная величина выборочного среднего, $m$ — значение математического ожидания, $SE$ — стандартная ошибка этой величины.

Методика применения

Для применения данного критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение и была известна дисперсия генеральной совокупности. Z-тест применяется при проверке нулевой гипотезы о том, что математическое ожидание случайной величины равно некоторому значению $m$: $H_{0}:M_{x}=m$. Исходя из принципа независимости наблюдения, дисперсия выборочного среднего определяется как $V({\overline {X}})=\sigma ^{2}/n$. Тогда значение z-статистики вычисляется по формуле

$z_{\overline {X}}={\frac {{\overline {X}}-\,m_{H_{o}}}{\mathrm {\sigma /{\sqrt {n}}} }}$

где $\sigma$ — известная величина стандартного отклонения генеральной совокупности и ${n}$ — объём выборки.

При превышении критического значения $z_{\overline {X}}$ (например, $z_{\overline {X}}$ < −1.96 или $z_{\overline {X}}$ > 1.96 при уровне значимости 5 %), нулевая гипотеза отвергается и величина случайного значения считается статистически значимой.

Литература

• Hays, W. Statistics. Cengage Learning, 1994.