Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса.

Формулировка править

Пусть   конечно порождённая линейная группа над некоторым полем. Тогда для   выполняется в точности одно из следующих утверждений

Следствия править

Вариации и обобщения править

Говорят, что группа   удовлетворяет альтернативе Титса, если для каждая подгруппы   почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу. Иногда в определении дополнительно предполагают, что   конечно порождена.

Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также:

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

О доказательстве править

В доказательстве рассматривают замыкание   группы   в топологии Зарисского. Если   разрешима, то и группа   разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа   в компоненте Леви  . Если она некомпактна, то пинг-понг лемма[en] завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе   корни единицы, а значит, образ   конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.

См. также править

Примечания править

  1. Ivanov, Nikolai. Algebraic properties of the Teichmüller modular group (англ.) // Dokl. Akad. Nauk SSSR : journal. — 1984. — Vol. 275. — P. 786—789.
  2. McCarthy, Jenny. A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc. : journal. — 1985. — Vol. 291. — P. 583—612. — doi:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8.
  3. Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael. The Tits alternative for Out(Fn) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2000. — Vol. 151, no. 2. — P. 517—623. — doi:10.2307/121043. — arXiv:math/9712217. — JSTOR 121043.

Ссылки править