Альтернирующий метод Шварца
В математике альтерни́рующий ме́тод Шва́рца или альтерни́рующий проце́сс — итеративный метод, предложенный в 1869—1870 годах Германом Шварцем в теории конформных отображений. Для двух пересекающихся областей на комплексной плоскости, для каждой из которых решаема задача Дирихле, Шварц описал итеративный метод для решения задачи Дирихле в их объединении при условии надлежащего пересечения. Это была одна из конструктивных техник конформного отображения, разработанных Шварцем как вклад в задачу униформизации, сформулированную Риманом в 1850-х и впервые строго решённую Кёбе и Пуанкаре в 1907. Он представил схему того, как униформизировать объединение двух областей, если известно, как униформизировать каждую из них по отдельности, при условии, что их пересечение топологически было диском или кольцом. С 1870-го Карл Нейман также внёс вклад в эту теорию.
В 1950-х годах метод Шварца был обобщён в теории уравнений в частных производных до итерационного метода поиска решения краевой задачи эллиптического типа в области, являющейся объединением двух пересекающихся областей. Он включает решение краевой задачи на каждой из двух подобластей по очереди, всегда принимая последние значения приближённого решения в качестве следующих граничных условий. Это используется в численном анализе под названием мультипликати́вный ме́тод Шва́рца (в противовес аддитивному методу Шварца) как метод декомпозиции областей.
История править
Впервые метод был сформулирован Шварцем[1] и служил теоретическим инструментом: его сходимость для эллиптических уравнений в частных производных второго порядка была впервые доказана Соломоном Григорьевичем Михлиным намного позже, в 1951[2].
Алгоритм править
Оригинальной задачей, рассмотренной Шварцем, была задача Дирихле (с уравнением Лапласа) на области, содержащей круг и частично наложенный квадрат. Чтобы решить задачу Дирихле на одной из двух подобластей (квадрате или круге), решение должно быть известно на границе: поскольку часть границы содержится в другой подобласти, задача Дирихле должна решаться на двух подобластях в совокупности. Введём итеративный алгоритм:
- Сделаем первое предположение о решении на той части границы круга, которая находится внутри квадрата;
- Решаем задачу Дирихле на круге;
- Используем решение из (2), чтобы аппроксимировать решение на границе квадрата;
- Решаем задачу Дирихле на квадрате;
- Используем решение из (4), чтобы аппроксимировать решение на границе круга, потом переходим к шагу (2).
При сходимости решение на пересечении будет таким же, как на круге или квадрате.
Оптимизированные методы Шварца править
Скорость сходимости зависит от размера пересечения подобластей и от условий трансмиссии (граничные условия, использованные на переходе между подобластями). Возможно увеличить скорость сходимости методов Шварца через подбор условий трансмиссии: такие методы называются оптимизированными методами Шварца[3].
См. также править
Примечания править
- ↑ (Schwarz 1870b)
- ↑ (Михлин 1951): полный обзор был дан тем же автором в более поздних работах.
- ↑ Gander, Martin J.; Halpern, Laurence; Nataf, Frédéric (2001), "Optimized Schwarz Methods", 12th International Conference on Domain Decomposition Methods (PDF Архивная копия от 21 октября 2021 на Wayback Machine)
Литература править
Оригинальные статьи
- Schwarz, H.A. (1869), "Über einige Abbildungsaufgaben", J. Reine Angew. Math., 1869 (70): 105—120, doi:10.1515/crll.1869.70.105, S2CID 121291546
- Schwarz, H.A. (1870a), "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitbedingungen", Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin: 767—795
{{citation}}: templatestyles stripmarker в|title=на позиции 59 (справка) - Schwarz, H. A. (1870b), "Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren", Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 15: 272—286, JFM 02.0214.02
- Neumann, Carl (1870), "Zur Theorie des Potentiales", Math. Ann., 2 (3): 514, doi:10.1007/bf01448242, S2CID 122015888
- Neumann, Carl (1877), Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential, Teubner
- Neumann, Carl (1884), Vorlesungen über Riemann's Theorie der abelschen Integrale (2nd ed.), Teubner
Конформные отображения и гармонические функции
- Nevanlinna, Rolf (1939), "Über das alternierende Verfahren von Schwarz", J. Reine Angew. Math., 1939 (180): 121—128, doi:10.1515/crll.1939.180.121, S2CID 199546268
- Nevanlinna, Rolf (1939), "Bemerkungen zum alternierenden Verfahren", Monatshefte für Mathematik und Physik, 48: 500—508, doi:10.1007/bf01696203, S2CID 123260734
- Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, vol. 64, Springer
- Sario, Leo (1953), "Alternating method on arbitrary Riemann surfaces", Pacific J. Math., 3 (3): 631—645, doi:10.2140/pjm.1953.3.631
- Morgenstern, Dietrich (1956), "Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion", Z. Angew. Math. Mech., 36 (7—8): 255—256, Bibcode:1956ZaMM...36..255M, doi:10.1002/zamm.19560360711, hdl:10338.dmlcz/100409
- Cohn, Harvey (1980), Conformal mapping on Riemann surfaces, Dover, pp. 242—262, ISBN 0-486-64025-6, Chapter 12, Alternating Procedures
- Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Harmonic Measure, Cambridge University Press, ISBN 1139443097
- Freitag, Eberhard (2011), Complex analysis. 2. Riemann surfaces, several complex variables, abelian functions, higher modular functions, Springer, ISBN 978-3-642-20553-8
- de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformization of Riemann Surfaces: revisiting a hundred-year-old theorem, Heritage of European Mathematics, translated by Robert G. Burns, European Mathematical Society, doi:10.4171/145, ISBN 978-3-03719-145-3, перевод французского текста
- Chorlay, Renaud (2007), L'émergence du couple local-global dans les théories géométriques, de Bernhard Riemann à la théorie des faisceaux (PDF), pp. 123—134 (cited in de Saint-Gervais)
- Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Hidden Harmony—Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-1461457251
Уравнения в частных производных и численные методы
- Михлин, С. Г. (1951), "Об алгоритме Шварца", Доклады Академии наук, 77: 569—571, MR 0041329, Zbl 0054.04204
Ссылки править
- Solomentsev, E.D. (2001), "Schwarz alternating method", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4