Большие числа

Неформально (обычно в развлекательной математике и научно-популярной литературе) большими числами называют числа, значительно превосходящие числа, используемые в повседневной жизни. С XV века большими считались числа[1] больше тысячи, например миллион[2].

Изучение больших чисел и их номенклатуры иногда называются термином гугология (англ. googology)[3][4][5]. Термин был образован как комбинация слов «гугол» (классическое большое число) и «логос» (учение). Термин введён любителем математики Джонатаном Бауэрсом[4].

ИсторияПравить

Несмотря на то что гугология — современный термин, история изучения человеком больших чисел уходит в глубокую древность.

III век до н. э. — Архимед в своём труде Псаммит представил нотацию, позволяющую записывать числа до  [6]. В связи с этим его иногда называют первым «гугологистом»[4].

I век н. э. — В буддистском священном тексте Аватамсака-сутра было упомянуто число  

1928 год — Вильгельм Аккерман опубликовал свою функцию.

1940 год — Эдвард Казнер описал числа гугол ( ) и гуголплекс ( )[7].

1947 год — Р. Гудштейн[en] дал наименование операциям тетрации ( ), пентации ( ) и гексации ( )[8].

1970 год — С. Вайнер дал определение быстрорастущей иерархии[9].

1976 год — Дональд Кнут изобрёл стрелочную нотацию[10] (предел   в терминологии быстрорастущей иерархии).

1977 год — Мартин Гарднер в журнале Scientific American описал число Грэма[11] ( , где  . Функция   имеет скорость роста порядка  ).

1983 год — была изобретена нотация Штейнгауза — Мозера[12](предел  ).

1995 год — Джон Конвей изобрёл цепную стрелочную нотацию[13](предел  ).

2002 год — Д. Бауэрс (J. Bowers) опубликовал свои нотацию массива[14][15] (предел  ) и расширенную нотацию массива (предел  ).

2002 год — Х. Фридман[en] дал определение функции TREE(n), имеющей скорость роста  .

2006 год — Х. Фридман дал определение быстрорастущим функциям SCG(n) и SSCG(n).

2007 год — Д. Бауэрс определил ещё более мощную нотацию BEAF (данная нотация хорошо определена до  , числа, превосходящие этот уровень, вызывают противоречивость оценок).

Список гугологизмовПравить

Математические объекты, имеющие отношения к гугологии (в том числе большие числа), называются гугологизмами. В настоящее время наименования даны для нескольких тысяч чисел, превосходящих гугол. Ниже приведён список некоторых гугологизмов и их выражения в наиболее известных нотациях[16]. Перед выражением в той нотации, в которой число было записано автором, стоит знак равенства, выражения для того же числа в других нотациях представляют собой аппроксимации.

имя числа степень

десяти

нотация Кнута нотация Конвея Нотация Бауэрса

(нотация массива)

Нотация Сайбиана

(гипер-E нотация)

быстрорастущая иерархия
Гугол            
Гуголплекс            
Гиггол (Giggol)            
Гаггол (Gaggol)            
Бугол (Boogol)          
Число Грэма          
Траддом (Traddom)[17]        
Биггол (Biggol)        
Трултом (Trultom)        
Тругол (Troogol)        

Числа, приведённые ниже, находятся уже за пределами применения нотаций Кнута и Конвея.

имя числа нотация Бауэрса

(BEAF)

нотация Сайбиана быстрорастущая

иерархия

Квадругол (Quadroogol)      
Квадрексом (Quadrexom)      
Квинтугол (Quintoogol)      
Губол (Goobol)  

 

   
Бубол (Boobol)   E100#^#100##100  
Трубол (Troobol)   E100#^#100###101  
Квадрубол (Quadroobol)   E100#^#100####101  
Гутрол (Gootrol)   E100#^#100#^#100  
Госсол (Gossol)   E100#^#*#100  
Моссол (Mossol)   E100#^#*##100  
Боссол (Bossol)   E100#^#*###100  
Троссол (Trossol)   E100#^#*####100  
Дубол (Dubol)   E100#^#*#^#100  
Дутрол (Dutrol)   E100#^#*#^#100#^#*#^#100  
Колоссол (Colossol)   E10#^###10  
Тероссол (Terossol)   E10#^####10  
Петоссол (Petossol)   E10#^#####10  
Гонгулус (Gongulus)   E10#^#^#100  
Годтосол (Godtothol)   =E100#^#^#^#100  
Годтопол (Godtopol)   =E100#^#^#^#^#^#100  
Годоктол (Godoctol)   =E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100  
Декотетром (Dekotetrom)   E10#^^#10  
Гоппатос (Goppatoth)   E10#^^#101  
Тесракросс (Tethracross)   =E100#^^##100  
Тесракубор (Tethracubor)   =E100#^^###100  
Тесратерон (Tethrateron)   =E100#^^####100  
Пентаксулум (Pentacthulhum)   =E100#^^^#100  
Гексаксулум (Hexacthulhum)   =E100#^^^^#100  
Годсгодгулус (Godsgodgulus)   =E100#{100}#100  
TREE(3)  
SCG(13)  

Применение больших чисел в других областях наукиПравить

Космология
Статистическая механика
Теория графов
  • Число Грэма — верхняя граница для наименьшего числа измерений гиперкуба, при котором двухцветная раскраска линий, соединяющих все пары вершин этого куба, обязательно содержит одноцветный 4-вершинный копланарный полный подграф
  • TREE(3)
  • SCG(13)[en]

ПримечанияПравить

  1. Александр Альбов. От абака до кубита + история математических символов. — Litres, 2017-09-05. — С. 73. — 308 с. — ISBN 978-5-04-013707-7. Архивная копия от 11 января 2022 на Wayback Machine
  2. П. С. Александров. Энциклопедия элементарной математики. — Рипол Классик. — С. 38. — 449 с. — ISBN 978-5-458-25956-9. Архивная копия от 11 января 2022 на Wayback Machine
  3. One Million Things: A Visual Encyclopedia (англ.). — New York, New York 10014, United States: DK Publishing, 2008. — P. 286. — ISBN 978-0-7566-3843-6. «The study of large numbers is called googology»
  4. 1 2 3 Prof. Dr. Ir. Maarten Looijen. Over getallen gesproken - Talking about numbers (афр.). — Van Haren Publishing, 2016. — С. 211. — ISBN 978-94018-0028-0.
  5. Robert A. Nowlan. Masters of Mathematics: The Problems They Solved, Why These Are Important, and What You Should Know about Them (англ.). Springer (13 мая 2017). Дата обращения: 25 августа 2018. Архивировано 4 августа 2020 года.
  6. The Sand Reckoner (Arenario). Дата обращения: 8 октября 2016. Архивировано 7 августа 2016 года.
  7. Kasner, Edward; Newman, James R. Mathematics and the Imagination (англ.). — Simon and Schuster, New York, 1940. — ISBN 0-486-41703-4. The relevant passage about the googol and googolplex, attributing both of these names to Kasner’s nine-year-old nephew, is available in The world of mathematics, volume 3 (англ.) / James R. Newman. — Mineola, New York: Dover Publications, 2000. — P. 2007—2010. — ISBN 978-0-486-41151-4.
  8. Goodstein, R. L. (1947). «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory». Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123—129. doi:10.2307/2266486. JSTOR 2266486 Архивная копия от 27 января 2017 на Wayback Machine.
  9. Löb, M.H. and Wainer, S.S., "Hierarchies of Number Theoretic Functions I, II: A Correction, " Arch. Math. Logik Grundlagenforschung 14, 1970 pp. 198—199.
  10. Knuth, D. E. (1976) «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness.» Архивная копия от 24 августа 2013 на Wayback Machine Science 194, 1235—1242. doi:10.1126/science.194.4271.1235
  11. Gardner, M. (1977) «Mathematical games: In which joining sets of points leads into diverse (and diverting) paths» Архивная копия от 19 октября 2013 на Wayback Machine Scientific American 237(5), 18-28. doi:10.1038/scientificamerican1177-18.
  12. Steinhaus-Moser Notation — MathWorld. Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 13 октября 2016 года.
  13. Conway, J. H. (1995) PDF Архивная копия от 22 ноября 2021 на Wayback Machine
  14. Exploding Array Function. Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 21 сентября 2016 года.
  15. Array notation. Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 19 октября 2016 года.
  16. List of googologisms. Дата обращения: 10 октября 2016. Архивировано 21 ноября 2016 года.
  17. Traddom. Дата обращения: 10 октября 2016. Архивировано 11 октября 2016 года.
  18. ANDREI LINDE AND VITALY VANCHURIN- HOW MANY UNIVERSES ARE IN THE MULTIVERSE?. Дата обращения: 18 октября 2016. Архивировано из оригинала 11 октября 2016 года.
  19. Г. Линдер. Картины современной физики. М.: Мир, 1977
  20. Sinks in the Landscape, Boltzmann Brains, and the Cosmological Constant Problem Архивная копия от 11 августа 2012 на Wayback Machine // Andrei Linde 2007, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 01(2007)022 doi:10.1088/1475-7516/2007/01/022
  21. Information Loss in Black Holes and/or Conscious Beings?, Don N. Page, Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity (1995), S. A. Fulling (ed), p. 461. Discourses in Mathematics and its Applications, No. 4, Texas A&M University Department of Mathematics. arXiv:hep-th/9411193. ISBN 0-9630728-3-8.
  22. How to Get A Googolplex. Дата обращения: 18 октября 2016. Архивировано 6 ноября 2006 года.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

  • Googology — статья в Googology Wiki.