Геометрия в целом

Геоме́трия в це́лом (глобальная геометрия) (англ. geometry in large; нем. Geometrie im Großen) — раздел геометрии, изучающий полный геометрический образ, например:

• всю кривую,
• всю поверхность,
• всё пространство,
• всё векторное поле,
• всё тензорное поле,
• всё отображение одного геометрического образа или всего поля геометрического объекта на другое.

Обезьянье седло

Учитывая, что геометрические объекты могут быть регулярными и нерегулярными, переформулируем определение геометрии в целом следующим образом.

Геометрия в целом — раздел геометрии, в которой геометрические фигуры (кривые, поверхности и другие) исследуются:

• на всём их протяжении;
• при допущении нерегулярности и локальных особенностей.

Историческая справка

Сам термин «геометрия в целом» впервые появился в математической литературе на немецком языке (нем. Geometrie im Großen) в начале XX века (вместе с термином «геометрия в малом») в связи с противопоставлением геометрии в целом геометрии в малом, подходы которой оказались неэффективны для геометрии в целом. Термин «геометрия в целом» не используется, когда нет указанного противопоставления и сразу рассматривается исключительно объекты в целом (например, в элементарной геометрии, в топологии многообразий).

Геометрические фигуры могут быть регулярными, то есть задающимися достаточно хорошими уравнениями, и нерегулярными. В первом случае регулярных геометрических фигур исследования проводятся в рамках дифференциальной геометрии. Это дифференциальное направление геометрии в целом основали и развили выдающиеся математики Дарбу, Гильберт, Минковский, Вейль, Кон-Фоссен и другие.

Во втором случае нерегулярных геометрических фигур первый результат был получен в 1813 году Коши, который доказал теорему об однозначной определенности метрикой выпуклых многогранников. Затем в 1897 году Минковский доказал следующую теореме единственности. Глубокие исследования вопросов нерегулярной геометрии в целом начались только в 1927—1936 годах с работ Кон-Фоссена. В дальнейшем в 1941—1948 годах А. Д. Александров развивает внутреннюю геометрию общих выпуклых поверхностей. Далее а 1948—1969 годах А. В. Погорелов создаёт внешнюю геометрию выпуклых поверхностей, а также получает решение ряда крупнейших геометрических проблем; например, в 1948 году он доказывает одну из центральных теорем геометрии в целом — об однозначной определенности метрикой произвольных выпуклых поверхностей, обобщающую теорему Александрова о развёртке, которая, в свою очередь, обобщает теорему Коши.

Геометрия в целом и геометрия в малом

Геометрия в целом противопоставляется геометрии в малом (локальной геометрии) — геометрии, в которой геометрический образ (например, поле, отображение) исследуются лишь в достаточно малых областях, как, например, в классической дифференциальной геометрии.

Качественные отличия свойств в целом от свойств в малом проявляются, например, в следующих направлениях:

• жёсткость, изгибаемость, изометричные погружения поверхностей (например, локальная область выпуклой поверхности изгибаема с сохранением выпуклости, а вся поверхность выпуклого тела так не изгибаема);
• поведение геодезических линий (например, в малой области две точки гладкой поверхности соединимы единственной геодезической, а на всей замкнутой поверхности — бесконечным числом геодезических);
• задание метрики с определенными свойствами на многообразиях (например, метрику везде положительной кривизны можно задать на полной поверхности, гомеоморфной только сфере, плоскости или проективной плоскости).

Описанные качественные отличия породили самостоятельные теории, например:

• риманова геометрия в целом;
• вариационное исчисление в целом.

Регулярная и нерегулярная геометрия в целом

Получены качественные и количественные результаты в целом для регулярных геометрических структур, то есть на лишенных особенностей многомерных многообразиях, в результате развития современной дифференциальной геометрии.

Однако особенности обычно возникают, например, в следующих случаях:

• при продолжении гладких погруженных многообразий или полей на них;
• при достижении решения экстремальных задач.

Именно поэтому многие проблемы геометрии в целом более естественно возникают в классах, включающих нерегулярные объекты, что приводит к созданию не дифференциально-геометрических подходов. Исследования в целом b исследования особенностей были объединены и развиты для двумерных поверхностей геометрической школой А. Д. Александрова, Н. В. Ефимова, А. В. Погорелова, в которой и получены наиболее законченные результаты в теории поверхностей.

Источники

• Александров А. Д., Залгаллер В. А. Геометрия в целом // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 943—944.
• Геометрия в малом // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 150.
• Геометрия в целом // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 150.
• Милка А. Д. Что такое геометрия «в целом». М.: «Знание», 1986. 31 с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика», № 12).

Литература

• Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.—Л.: ОГИЗ. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 387 с., ил.
• Громол Д., Клингенберг В., Майер В. Риманова геометрия в целом / Пер. с нем. Ю. Д. Бураго; под ред. и с доб. В. А. Топоногова. М.: «Мир», 1971. 343 с., ил. [Gromoll, D.; Klingenberg, W.; Meyer, W. Riemannsche Geometrie im Grossen. — Berlin·Heidelberg·New York, 1968. vi+287 с. (Lecture Notes in Mathematics No. 55).]
• Ефимов Н. В. Геометрия «в целом» // Математика в СССР за сорок лет 1917—1957. В 2-х томах. Том 1-й. Под ред. А. Г. Куроша (гл. ред.), В. И. Битюцкова, В. Г. Болтянского, Е. Б. Дынкина, Г. Е. Шилова, А. П. Юшкевича. Том 1. Обзорные статьи. М.: Физматлит, 1959. 1002 с., ил. С. 925—952.
• Кон-Фоссен С. Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом / Под ред. [и со вступ. статьёй] Н. В. Ефимова. М.: Физматгиз, 1959. 303 с. черт.; 21 см.
• Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: «Наука», 1969. 759 с., ил.