Дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр

Два́жды ко́со скру́ченный отсечённый ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона (J₇₉, по Залгаллеру — М₁₃+2М₆).

Дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	52 грани 105 рёбер 55 вершин Χ = 2
Грани	15 треугольников 25 квадратов 11 пятиугольников 1 десятиугольник
Конфигурация вершины	5x2(4.5.10) 10x2(3.42.5) 3+11x2(3.4.5.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J79, М13+2М6
Группа симметрии	Cs

Составлен из 52 граней: 15 правильных треугольников, 25 квадратов, 11 правильных пятиугольников и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; среди пятиугольных граней 1 окружена десятиугольной и четырьмя квадратными, 4 — десятиугольной, тремя квадратными и треугольной, 2 — пятью квадратными, 2 — четырьмя квадратными и треугольной, остальные 2 — тремя квадратными и двумя треугольными; среди квадратных граней 2 окружены десятиугольной, двумя пятиугольными и квадратной, 3 — десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, 1 — двумя пятиугольными и двумя квадратными, 6 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, 3 — двумя пятиугольными и двумя треугольными, остальные 10 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 10 окружены пятиугольной и двумя квадратными, остальные 5 — тремя квадратными.

Имеет 105 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 40 рёбер — между пятиугольной и квадратной, 10 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 10 рёбер — между двумя квадратными, остальные 35 — между квадратной и треугольной.

У дважды косо скрученного отсечённого ромбоикосододекаэдра 55 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 45 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём три части — любые три попарно не пересекающихся пятискатных купола (J₅), — и повернув два из них на 36° вокруг их осей симметрии, а третий удалив. Описанная и полувписанная сферы полученного многогранника совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр — один из четырёх наименее симметричных многогранников Джонсона (наряду с J₇₈, J₈₂ и J₈₇): его группа симметрии C_s состоит из тождественного преобразования и одной зеркальной симметрии.

Метрические характеристики

Если дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины $a$, его площадь поверхности и объём выражаются как

$S={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+\left(10+11{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 58{,}1146508a^{2},$

$V={\frac {1}{6}}\left(115+54{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 39{,}2912785a^{3}.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a.$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Дважды косо скрученный отсечённый ромбоикосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.